Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Produktionsprozess mit Matrizen lösen

Produktionsprozess mit Matrizen lösen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: angewandte lineare Algebra Sachaufgabe Matrix

schagri aktiv_icon

10:52 Uhr, 16.03.2016

Hallo,

Ich habe Schwierigkeiten mit nachfolgender Aufgabe:

Aus drei verschiedenen Rohstoffen

R 1, R 2, R 3

werden in einem Produktionsablauf zwei Zwischenprodukte

Z 1, Z 2

hergestellt, welche dann zu vier Endprodukten

E 1, E 2, E 3, E 4

weiterverarbeitet werden. In den folgenden Tabellen sind die Mengenangaben gegeben, sodass die Spalte den Bedarf an Rohstoffen bzw. Zwischenprodukten für die jeweiligenZwischen- bzw. Endprodukte angeben

- \to

siehe Screenshot

Es soll mit Hilfe der Matrizen berechnet werden, wie viele Mengeneinheiten (ME) der verschiedenen Rohstoffe für die Produktion von

60

ME des Endproduktes

E 1, 150

E 2, 40

E 3

sowie

200

E 4

erforderlich sind?

Über einen Lösungsansatz wäre ich sehr Dankbar.

Bummerang

11:07 Uhr, 16.03.2016

Hallo,

vielleicht erleichtert Dir der Umweg über Gleichungen diese Aufgabe:

Um eine Mengeneinheit des Zwischenprodukts

Z_{1}

herzustellen, benötigst Du 4 Mengeneinheiten

R_{1}, 5

Mengeneinheiten

R_{2}

und 3 Mengeneinheiten

R_{3}

. Das ergibt die folgende Gleichung:

4 \cdot R_{1} + 5 \cdot R_{2} + 3 \cdot R_{3} = 1 \cdot Z_{1}

Analog erhältst Du:

2 \cdot R_{1} + 7 \cdot R_{2} + 3 \cdot R_{3} = 1 \cdot Z_{2}

Das ergibt ein Gleichungssystem, das man in Matrix-Schreibweise so schreiben kann:

(\begin{matrix} 4 & 5 & 3 \\ 2 & 7 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} R_{1} \\ R_{2} \\ R_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} Z_{1} \\ Z_{2} \end{matrix})

Auch analog dazu erstellst Du:

(\begin{matrix} 9 & 5 \\ 3 & 1 \\ 8 & 8 \\ 2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} Z_{1} \\ Z_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ E_{3} \\ E_{4} \end{matrix})

Da kannst Du auch die erste Gleichung einsetzen:

(\begin{matrix} 9 & 5 \\ 3 & 1 \\ 8 & 8 \\ 2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 & 5 & 3 \\ 2 & 7 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} R_{1} \\ R_{2} \\ R_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ E_{3} \\ E_{4} \end{matrix})

Wie Du siehst, sind das einfach die vorgegebenen Tabellen "in transponierter" Form.

Wenn Du jetzt noch die beiden Matrizen multiplizierst und für

E_{k} (k \in {1,2,3,4})

die gegebenen Werte einsetzt, hast Du eine Matrixgleichung zu einem linearen Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit drei Unbekannten besteht. Dieses musst Du lösen.

schagri aktiv_icon

11:47 Uhr, 16.03.2016

Vielen Dank, sehr gut nachvollziehbar!

Ich habe das Produkt der Matrizen berechnet:

(\begin{matrix} 40 & 80 & 42 \\ 14 & 22 & 12 \\ 48 & 96 & 48 \\ 10 & 17 & 9 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} R 1 \\ R 2 \\ R 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 60 \\ 150 \\ 40 \\ 200 \end{matrix})

Kann ich an der Stelle mit Der Cramerschen Regeln weiter machen?

schagri aktiv_icon

11:47 Uhr, 16.03.2016

Vielen Dank, sehr gut nachvollziehbar!

Ich habe das Produkt der Matrizen berechnet:

(\begin{matrix} 40 & 80 & 42 \\ 14 & 22 & 12 \\ 48 & 96 & 48 \\ 10 & 17 & 9 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} R 1 \\ R 2 \\ R 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 60 \\ 150 \\ 40 \\ 200 \end{matrix})

Kann ich an der Stelle mit Der Cramerschen Regeln weiter machen?

schagri aktiv_icon

11:47 Uhr, 16.03.2016

Vielen Dank, sehr gut nachvollziehbar!

Ich habe das Produkt der Matrizen berechnet:

(\begin{matrix} 40 & 80 & 42 \\ 14 & 22 & 12 \\ 48 & 96 & 48 \\ 10 & 17 & 9 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} R 1 \\ R 2 \\ R 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 60 \\ 150 \\ 40 \\ 200 \end{matrix})

Kann ich an der Stelle mit Der Cramerschen Regeln weiter machen?

schagri aktiv_icon

11:52 Uhr, 16.03.2016

Gibts es eine Möglichkeite das Gleichungssystem irgendwie zu vereinfachen? Danke

pwmeyer aktiv_icon

12:22 Uhr, 16.03.2016

Hallo,

der Ansatz von Bummerang ist falsch. Richtig ist: Zwischenprodukte benötigen Rohstoffe nach der Formel

(\begin{matrix} r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 7 \\ 3 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \end{matrix})

Und analog für die zweite Beziehung.

Dass Bummerangs Interpretation falsch ist sieht man auch daran, dass da

z . B

. eine Lösung mit

R_{1} = 0

möglich wäre.

Gruß pwm

schagri aktiv_icon

12:32 Uhr, 16.03.2016

OK - Das ist jetzt etwas unglücklich.
In dem Fall wäre mir sehr gehoflen wenn mal jemand den gesamten Lösungsweg aufzeigen könnte?
Ich habe die Ergebnisse - Komm nur beim besten willen nicht selbst drauf.
Danke.

schagri aktiv_icon

15:41 Uhr, 16.03.2016

Kann mir Bitte jemand sagen welcher der beiden ansätze der richtige ist? danke

Roman-22

16:02 Uhr, 16.03.2016

>

Kann mir Bitte jemand sagen welcher der beiden ansätze der richtige ist?
Der von pwmeyer.
Die Lösung erfolgt einfach durch Multiplikation der gegebenen Matrizen bzw. Vektoren, denn der Vektor

(\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \end{matrix})

im Ansatz von pwmeyer ergibt sich ja wiederum im Produkt von ZwischenProdukt-Endprodukt-Matrix mit dem gewünschten Endprodukt-Vektor.

Insgesamt also
Bild1

In welcher Reihenfolge du die beiden Multiplikationen ausführst, bleibt dir überlassen.

Und wer es gerne transponiert hat, der rechnet eben
Bild2

R

schagri aktiv_icon

16:57 Uhr, 17.03.2016

Vielen Dank !

1296590

1296329

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?