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Produktregel.... -.- ähhh...
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 14:23 Uhr, 12.12.2006  |
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Alsooo wäre euch sehr verbunden, wenn mir jmd. helfen könnte. Hab mein Fachreferat übermorgen abzugeben...Prduktregel...Beweis und Anwendungsbeispiel :( Und ich bin ne Null in Mathe^^ ein Anwendungsbeispiel hab ich gefunden... Nun, was sagt denn die Prdouktregel eigentlich aus? Das dass Prdoukt aus g(x) und f(x) das gleiche ergiebt wie das Produkt ihrer Ableitungen? Und wozu zur Hölle brauch ich das? Also wann benutz ich die? Hui - hab mir viel durchgelesen und bin nur noch veriwrrter ( *lol* aaaber 8Punkte in der Klausur ^^) Danke schonmal... Greetz |
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Nun, was sagt denn die Prdouktregel eigentlich aus? Das dass Prdoukt aus g(x) und f(x) das gleiche ergibt wie das Produkt ihrer Ableitungen? NEIN!! Die Produktregel ist dazu da, ein Produkt aus Funktionen abzuleiten, z.B. f(x) = 2x^2*(1-x) Dann kannst du das als Produkt schreiben mit den beiden Faktoren 2x^2 und 1-x, beide getrennt ableiten und gemäß der Produktregel dann die Ableitung der gesamten Funktion f(x) bestimmen. f(x) = g(x)*h(x) Dann ist f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) Also in diesem Fall: g(x) = 2x^2 h(x) = 1-x g'(x) = 4x h'(x) = -1 also lautet die Ableitung von f f'(x) = 4x*(1-x) + 2x^2*(-1) = 4x-4x^2-2x^2 = 4x-6x^2 In diesem Beispiel könnte man natürlich auch zuerst die Funktion f(x) ausmultiplizieren, also f(x) = 2x^2 - 2x^3 und dann ableiten: f'(x)=4x - 6x^2, das mag in diesem einfachen Fall schneller gehen, hat man aber Verknüpfungen komplizierter Funktionen, z.B. f(x) = (x^2+2x-5)*(x^4-2x + 8) kann man sich beim ausmultiplizieren leicht verrechnen; bei Funktionen, die nicht nur Polynome enthalten, sondern z.B. noch ne e-Funktion, kannst du oft nur mit dieser Formel rechnen, z.B. bei f(x) = e^x*(x^2+3) g(x) = e^x h(x) = x^2+3 g'(x) = e^x h'(x) = 2x Also ist die Ableitung: e^x*(x^2+3) + e^x*2x Soweit alles klar? Es ist eigentlich nur ne Formel um schneller an Ableitungen bei komplizierteren Produktfunktionen zu kommen! |
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anonymous 15:12 Uhr, 12.12.2006 |
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nien - wow... ich weiß nich mal was e^x bedeuten soll ^^ ich check mathe eigentlich schon - war aber vor der klausur ein bißchen spät dran und hab auf lücke gelernt. ableitungen, kurvendiskussion, alles kein problem, aber die produktregel kam nich darn und wich weiß immernoch nich, was für einen sinn die regel macht...sorry... Nett von dir, dass du´s versucht hast. Greetz |
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Aber den ersten Teil müsstest du doch verstehen, oder? Die Produktregel ist dazu da, ein Produkt aus Funktionen abzuleiten, z.B. f(x) = 2x^2*(1-x) Dann kannst du das als Produkt schreiben mit den beiden Faktoren 2x^2 und 1-x, beide getrennt ableiten und gemäß der Produktregel dann die Ableitung der gesamten Funktion f(x) bestimmen. f(x) = g(x)*h(x) Dann ist f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) Also in diesem Fall: g(x) = 2x^2 h(x) = 1-x g'(x) = 4x h'(x) = -1 also lautet die Ableitung von f f'(x) = 4x*(1-x) + 2x^2*(-1) = 4x-4x^2-2x^2 = 4x-6x^2 |
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anonymous 16:29 Uhr, 13.12.2006 |
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Ich versteh schon wie´s funktioniert, nur kann ich mich kaum vor die Klasse stellen und denen erzählen, ja dann nimmst du v und u und... Ich sollte ja erklären können, was ich da tue, Beziehungsweise die Regel auch beweisen und ich hab nich mal nen Plan, wofür die Regel eigentlich gut ist. Ableiten kann ich ja auch ohne sie...oder? |
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einfache Polynome (also solche wo nur x, x^2, x^3 etc. drinstehen) ja, die kannst du ausmultiplizieren und dann berechnen. Aber was machst du z.B. mit f(x) = sin(x) * x^2 ? Das kannst du nur mit Produktregel ausrechnen! |
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anonymous 18:15 Uhr, 13.12.2006 |
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oh ja, klar.... Hab mich noch ein bißchen informiert und eigentlich alles verstanden... jetzt hab ich nur noch ein Problem... Ich habe keinen Formeleditor in meinem Word...und habe seid 2 Stunden auch im Netz nichts brauchbares gefunden. Den Anfang konnte ich mir noch mit Sachen aus dem Netz zusammenbasteln, jetzt gehts an den Beweis und wir haben immer mit f(x) und f(x0) also, anstatt f(x+h) gearbeitet...jetzt kann i des natürlich nich einfach kopieren :( IDEE???? Und danke nochmal!!! |
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Die Produktregel macht grundsätzlich ZWEI Aussagen... (1) Unter der Voraussetzung, zwei Funktionen f und g haben eine Eigenschaft, dann hat auch das Produkt diese Eigenschaft. (2) Eine Rechenregel für (f*g)´......... und die heisst NICHT (f*g)´=f´* g´(wie man es über die Summenregel vermuten könnte). Die kriegen wir später, so wie die ´Dampfmaschiene´. Kritik: Teil (1) wurde hier nie erwähnt, stellt aber die Grundlage für die Anwendung der Rechenregel (2) dar. Fortsetzung des Schauspieles... Man erinnert an die Summenregel und weist ausdrücklich darauf hin, dass unter der Verknüpfung PLUS die ´Eigenschaft´ ebenfalls erhalten bleibt, nur die Rechenregel geringfügig anders ist. Die betrachtete ´Eigenschaft´ heisst differenzierbar und bedeutet für eine Funktion, dass sie überall schön rund ist, d.h. sie hat keine Knicke, wie etwa f(x)=|x| bei x=0. - Mit anderen Worten: Sind f und g ´schön rund´ ,dann sind es auch (f+g) , (f*g) , a*f. Man kann aus einfachen ´runden´ Funktionen durch PLUS, MAL und VIELFACHEN beliebig komplizierte bauen, von denen man voraussagen kann, dass sie ebenfalls ´schön rund´ sind. Beispiele: Man könnte f(x):= u(x)*v(x) untersuchen mit speziellen Funktionen u und v.... (A) Wenn u diff.bar und a€R, dann ist v(x):=a diff.bar {mit v´(x)=0} und somit gemäss (1) das Produkt f(x)= a* u(x) UND gemäss (2) ist f´(x)= 0*u(x) + a*u´(x) = a*u´(x). <--- Bekannt als ´Regel vom konstanten Faktor´. <--- Hat dat die Klasse schon gesehen? Nä? - Erster Beifall brandet auf... (B) Dass u(x)=v(x):= x diff.bar sind mit u´(x)=v´(x):= 1 weist man mit der Def. der Diff.barkeit nach. Damit ist jedoch auch f(x)=x² diff.bar und nach PR gilt: f´(x)=1*x + x*1 = 2x. - Wiederholt man das für f(x)= x* x² =x3, f(x)= x* x3 =x4, ...(usw.), kommt man zur ´x-hoch-n´-Regel: Jedes xn mit n€N+ ist diff.bar mit der Ableitung n*xn-1. <--- Der Laden ist geschockt. Einstein tritt auf oder 15 Punkte sind desweiteren eine Strafe... (C) Die Kombi (A)+(B) besagt, dass a* xn ableitbar ist und mit der Summenregel folglich jede ganzrationale Funktion (= Polynom) p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 mit x € R und sog. ´Koeffizienten´ aj € R für j=0,1,...,n. <--- Der Pauker wird nass. (D) Hat eine Schlüsselrolle für einen (etwas anderen) Beweis der PR. Wir betrachten mal { (u+v)² - (u-v)² } /4 genauer: Unter Ausnutzung bin.Formeln (I+II) ergibt sich u*v = { (u+v)² - (u-v)² } /4. Dass bei ´runden´ u und v die Ausdrücke u+v und u-v und im nachhinein nach geteilt durch 4 ´rund´ sind, wissen wir (Summenregel + Faktorregel). Wir wissen noch nicht, ob bei ´runder Funktion´ w auch f= w² ´rund´ bleibt. Und wir hoffen auf eine ´Quadrat-Rechenregel´. An dieser Stelle beobachten wir spätestens, dass der Pauker sich einnässt. Diese Vereinfachung hat er im Grundstudium nämlich (wie üblich) verpennt. (D.1) Falls die Kettenregel vorausgesetzt werden kann, ist f ´rund´ und die Rechenregel besagt: f´= 2w*(w`) <-- innere X äussere Ableitung. (D.2) Falls nicht, müssen wir halt elementar (= ekelig langweilig) arbeiten. Irgendwo passiert das und man darf es in einem Referat auch durchaus ankündigen. - Wir ergänzen den Zähler von (1/h)* {f(x+h)-f(x)} = (1/h)* {w²(x+h) - w²(x)} um 0= +w(x+h)*w(x) -w(x+h)*w(x) und erhalten = w(x+h)*{w(x+h)-w(x)}/h + w(x)*{w(x+h)-w(x)}/h. - Für h-->0 existieren die {...}/h -Grenzwerte nach Voraussetzung und sind = w´(x) UND da w stetig [1] ist, existieren die Grenzwerte w(x+h)--> w(x). - Malt man das fein mit Bruchstrichen auf, erkennt mn f´(x)= 2*w(x)*w´(x) aus der Limesbildung. (D.3) Wir ernten ab: Diff.bare Funktionen u,v sind nach (D.1) oder (D.2) als Produkt wieder diff.bar (Teil 1) und die Rechenregel (Teil 2) lautet: (u*v)´= (1/4)* { (u+v)² - (u-v)² }´ = (1/4)* 2*(u+v)*(u+v)´ - (1/4)*2*(u-v)*(u-v)´ = (1/2)*{(u+v)*(u´+v´) - (u-v)*(u´-v´)} = (1/2)* {uu´+uv´+u´v+vv´-uu´+uv´+u´v-vv´} = u´v+uv´ <--- PR Teil-2 Nachdem man ein paar lustige Beispiele gebracht hat und eine Motivation auf die Quotientenregel (man braucht nur zu zeigen, dass 1/v ´rund´ ist) schneidet man noch ein paar Grimassen und erntet diesmal eine 15. - Das man mit 8 glücklich wird, kann ich nicht glauben. Meine übelste LK-Klausur war 13 UND da war ich besoffen... -Steele- ___________________ [1] ...auch so eine Eigenschaft für Funktionen aus der Vergangenheit (=Kl.11), die besagt, dass ´stetige´ nicht auseinanderreissen, also ´in einem Strich´ gezeichnet werden können. - Später hat man auch festgestellt, dass ´runde´ Funktionen nicht auseinander gehen... Diff.bar folgert stetig (nicht umgekehrt). [2] ...Schade nur, dass dieses Referat SO nie gehalten wird... |
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| @ Antonia: Was für ne Word-Version hast du denn? Wieso ist da kein Formeleditor bei? Oder findest du ihn nur nicht:-)? | |
anonymous 17:56 Uhr, 18.12.2006 |
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@ steele vielen vielen dank und vor allem vielen dank für die mühe =) @solke danke auch dir...ähm. ne, mein word meint, er blpckt irgendwas und das installieren des Word-FormleEditors funktioniert zwar, aber die ausführung wird geblockt...frag mich nich...voll doof.. Naja, habs abgegeben und er hat gemeint, es is alles okay...also ging auch mit dem f(x+h) muss es nur morgen bei der Ausführung anders an die Tafle schreiben, aber er meinte, er wüsste ja, was gemeint is... -> So jetzt heißt es morgen Daumen drücken =) Und danke nochmal an euch!!! Wunderschöne Weihnachten, Feiertage und einen guten Rutsch!!! Greetz, Antonia |
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