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Produkttopologie

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Haribo24

Haribo24 aktiv_icon

17:07 Uhr, 15.04.2016

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Hi,liebe Leute ich bin grad am verzweifeln,ich versuche grad zu verstehen was eine produkttopologie ist aber ich sitze richtig auf der Leitung kann mir das eventuell jemand erklären anhand eines Beispiels

Ich wäre sehr dankbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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mihisu

mihisu aktiv_icon

18:09 Uhr, 15.04.2016

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Ich zietiere die Definition des entsprechenden Wikipedia-Eintrags:

Für jedes i aus einer (möglicherweise unendlichen) Indexmenge I sei Xi ein topologischer Raum. Sei X=∏i∈IXi das kartesische Produkt der Mengen Xi. Für jeden Index i∈I bezeichne pi:X→Xi die kanonische Projektion. Dann ist die Produkttopologie auf X definiert als die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen pi stetig sind.

\\\\\

Ein Beispiel:

Betrachte die topologischen Räume (X1,T1) und (X2,T2) mit:
X1={a,b,c}
T1={∅,{a},{b},{a,b},{a,b,c}}

X2={1,2,3}
T2={∅,{3},{1,2,3}}

Betrachte nun das kartesische Produkt X=X1×X2, also:
X={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}

Nun sollen die kanonischen Projektionen
p1:X→X1, (x,y)↦x
p2:X→X2, (x,y)↦y
stetig sein. Eine Abbildung ist stetig, wenn die Urbilder offener Mengen offene Mengen sind. Also müssen die folgenden Mengen offen sein:

p1-1(∅)=∅
p1-1({a})={(a,1),(a,2),(a,3)}
p1-1({b})={(b,1),(b,2),(b,3)}
p1-1({a,b})={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
p1-1({a,b,c})={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}

p2-1(∅)=∅
p2-1({3})={(a,3),(b,3),(c,3)}
p2-1({1,2,3})={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}

Also soll jede dieser Mengen in der Produkttopologie T enthalten sein. Jedoch bilden die Mengen noch keine Topologie, da beispielsweise p1-1({a})∩p2-1({3})={(a,3)} nicht enthalten ist. Man muss also noch ein paar zusätzliche Mengen mit reinnehmen, um die Mengen zu eine Topologie zu ergänzen. Aber man nimmt nur die zusätzlichen Mengen mit rein, die nötig sind, nicht mehr. Das heißt, wir suchen die gröbste Topologie, welche die genannten Urbildmengen enthält. Im genannten Beispiel muss man noch die folgenden Mengen ergänzen:

{(a,3)}
{(b,3)}
{(a,3),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,3)}
{(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,3),(c,3)}
{(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,3)}

Und man erhält als Produkttopologie auf X:

T={∅,
{(a,3)},
{(b,3)},
{(a,3),(b,3)},
{(a,1),(a,2),(a,3)},
{(b,1),(b,2),(b,3)},
{(a,3),(b,3),(c,3)},
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,3)},
{(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)},
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,3),(c,3)},
{(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,3)},
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)},
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,3)},
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}}
Antwort
Fabienne-

Fabienne- aktiv_icon

18:48 Uhr, 15.04.2016

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Off topic:

@Mihisu:

Ich wollte dir meinen Respekt ausdrücken für die Mühe, die du dir gemacht hast. Der Beitrag ist wirklich sehr gut!
Haribo24

Haribo24 aktiv_icon

23:22 Uhr, 15.04.2016

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ich danke sehr für deine mühe und danke dass du dir die zeit genommnen hast mir das zu erklären vielen vielen dank

aber wie bist du auf die ergänzugen gekommen das verstehe ich nicht
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mihisu

mihisu aktiv_icon

14:09 Uhr, 16.04.2016

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Die Urbild-Mengen
∅
{(a,1),(a,2),(a,3)}
{(b,1),(b,2),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}
{(a,3),(b,3),(c,3)}
bilden nach Voraussetzung eine sogenannte _Subbasis_ der Produkttopologie. Wenn man bei einer Subbasis alle endlichen Durchschnitte bildet, so erhält man eine _Basis_.

Ich habe also geschaut, welche Durchschnitte ich bilden kann, die noch fehlen:
{(a,1),(a,2),(a,3)}∩{(a,3),(b,3),(c,3)}={(a,3)}
{(b,1),(b,2),(b,3)}∩{(a,3),(b,3),(c,3)}={(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}∩{(a,3),(b,3),(c,3)}={(a,3),(b,3)}

Demnach bilden die Mengen
∅
{(a,1),(a,2),(a,3)}
{(b,1),(b,2),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}
{(a,3),(b,3),(c,3)}
{(a,3)}
{(b,3)}
{(a,3),(b,3)}
eine Basis.

Nun lässt sich jede Menge in der Produkttopologie, als Vereinigung von Basismengen darstellen. So dass man nun noch alle Vereinigungen bilden muss. Man erhält zusätzlich:
{(a,1),(a,2),(a,3)}∪{(a,3),(b,3),(c,3)}={(a,1),(a,2),(a,3),(b,3),(c,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3)}∪{(b,3)}={(a,1),(a,2),(a,3),(b,3)}
{(b,1),(b,2),(b,3)}∪{(a,3),(b,3),(c,3)}={(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,3)}
{(b,1),(b,2),(b,3)}∪{(a,3)}={(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}∪{(a,3),(b,3),(c,3)}={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,3)}

Also besteht die Produkttopologie insgesamt aus den folgenden Mengen:
∅
{(a,1),(a,2),(a,3)}
{(b,1),(b,2),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}
{(a,3),(b,3),(c,3)}
{(a,3)}
{(b,3)}
{(a,3),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,3),(c,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,3)}
{(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,3)}
{(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,3)}

\\\\\

Das habe ich jetzt manuell durchgeführt. Bei meinem vorigen Beitrag habe ich das meinen PC machen lassen, da dieser weniger fehleranfällig ist, als ich es bin.

Ich habe das Programm mal als Bild angehängt. (Es sieht komplizierter aus, als es eigentlich ist.)


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