Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Produktzeichen und Binomialkoeffizient

Produktzeichen und Binomialkoeffizient

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomialkoeffizient, Produktzeichen, Umformen

Smurf007 aktiv_icon

15:03 Uhr, 25.11.2019

Für

x

∈

R

und

k

∈

N

definieren wir den Binomialkoeffizienten

(\begin{matrix} x \\ k \end{matrix})

durch

(\begin{matrix} x \\ 0 \end{matrix}) := 1,

falls

k = 0,

und für alle

k

∈

N, k \neq 0

durch

(\begin{matrix} x \\ k \end{matrix}) := \prod \frac{x - 1 + j}{j}

von

j = 1

bis

k

.
Das Produktzeichen

\prod

von

j = k

bis

m

für

k, m

∈

N

ist hierbei analog zum Summenzeichen definiert, wobei allerdings

\prod a_{j} = 1

für

m < k

gesetzt wird von

j = k

bis

m

.

Zeigen Sie durch direkte Umformungen: Für alle

x

∈

R, k

∈

N, k \neq 0

gilt

(\begin{matrix} x \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} x - 1 \\ k - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} x - 1 \\ k \end{matrix})

Hallo alle zusammen, ich komme bei der Aufgabe nicht wirklich weiter. Ich habe zwar schon angefangen, einzusetzen, aber ich komme ab hier nicht weiter:

\prod \frac{x - j + 1}{j}

(von

j = 1

bis

k) = \prod \frac{x - j}{j}

von

(j = 1

bis

k - 1) + \prod \frac{x - j}{j}

(von

j = 1

bis

k)

. Vielen Dank für eure Hilfe. :-)

PS: ich weis leider nicht wie man die Ober und Untergrenzen beim Summenzeichen macht. Deswegen in den Klammern.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen