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Projektion

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Lineare Abbildungen

Tags: Endomorphismus, Linear Abbildung, Projektion

StudiInf aktiv_icon

14:44 Uhr, 19.01.2019

Hallo,

vielleicht kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen:

Sei

V

ein K-Vektorraum. Ein Endomorphismus

f \in

End_K(V)heißt Projektion, falls

f^{2} = f

(wobei

f^{2} := f \circ f)

. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
1.

f

ist eine Projektion
2. id_v

- f

ist eine Projektion
3. Ker(f) = Bild(id_v

- f)

4. Bild(f) = Kern(id_v

- f)

Mein Ansatz:
Also aus

f^{2} = f

und

f^{2} := f \cdot f = f (f (x))

müsste folgen, dass

f (x) = f (f (x))

. Daraus folgt, dass

f z . B

. die Identität ist oder

f (x) = c

(eine Konstante)

x, y \in V

Aber weiter komme ich leider nicht, da mir ein Ansatz fehlt.

Schon mal danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:01 Uhr, 19.01.2019

Hallo,

hm, hört sich erst einmal unbrauchbar an.

Du hast eine Reihe von Aussagen als äquivalent zu beweisen.
Natürlich kannst du nacheinander immer je zwei davon als äquivalent nachweisen. Damit wäre die Aufgabe gelöst.
Alternativ (und deutlich weniger aufwändig) wäre ein so genannter Ringschluss. Konkret würdest du 1.

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

1. beweisen und hättest auch damit die Äquivalenz aller 4 Aussagen nachgewiesen.

So, nun also ran an den Feind.
Ich denke, jede Reihenfolge ist hier so gut wie die andere, dann können wir uns auch gleich an die vorgegebene Reihenfolge machen.

Beweis also 1.

\Rightarrow

2.:
Welche Aussage muss demnach nachgewiesen werden?

Mfg Michael

StudiInf aktiv_icon

17:09 Uhr, 19.01.2019

Schon mal danke für die Antwort, aber wie soll ich

i d_{v} - f

verstehe.

i d_{V}

is t ja die Identitätsabbildung also

V \to v, d (x) = x

f (x) = y

Bedeutet es, dass

g (x) = i d_{v} (x) - f (x) = x - f (x) = x - y

?
Dann muss ich zeigen, das die Projektion

f

immer noch eine Projektion ist, wenn ich f von der Identität subtrahiere?

ledum aktiv_icon

17:30 Uhr, 19.01.2019

Hallo
Anscheinend kannst du dir eine Projektion nicht vorstellen, deshalb erstmal ein Beispiel in R^3.bilde ihn auf die xyEbene durch senkrechten Projektion ab. Was ist dann der Kern und das Bild, was id–f was

f^{2}

. Wenn du das verstehst dann musst du es nur verallgemeinern.!
Gruß lul

StudiInf aktiv_icon

17:57 Uhr, 19.01.2019

Projektion bedeutet ja, dass man eine 3-Dimensionale gebilde auf eine Ebene quetscht.

Das müsste ja dann bedeuten, dass aus

ℝ^{3}

ein

ℝ^{2}

Die Dimension von

ℝ^{3}

ist ja

3

f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ 0 \end{array})

Der Kern sind alle

x \in ℝ^{3}

die auf

(0, 0)

abbilden. Daraus folgt Ker

(ℝ) = {(0, 0, 0)}

Das Bild müsste dann sein: Bild

(ℝ) = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}

Liege ich da bis jetzt richtig?

ledum aktiv_icon

11:39 Uhr, 20.01.2019

Hallo
Das Bild ist richtig,(0,0,0) liegt immer in Kern und Bild, du hast nicht den eigentlichen Kern,

(0,0,1)

Gruß ledum

StudiInf aktiv_icon

16:15 Uhr, 21.01.2019

Danke für die Rückmeldung, aber ich bin leider bei meiner Frage nicht weiter.

i d_{v} - f

f

soll ja eine Projektion sein und wenn man die Funktion von der Identität bazieht soll es wieder eine Projektion sein. Ich weiß nicht wie ich an den Beweis rangehen soll.

Idee:

(i d_{v} - f)^{2} = i d_{v}^{2} - 2 f + f^{2} = i d_{v} - 2 f + f = i d_{v} - f

Damit müsste (ii) bewiesen sein oder ?

ermanus aktiv_icon

17:34 Uhr, 21.01.2019

Hallo,
dass

i d_{V} - f

wieder ein Endomorphismus ist, müsstest du noch anmerken
und dir ferner bewusst sein, dass du bei der Berechnung des Quadrates
die Gleichung

i d_{V} \circ f = f \circ i d_{V}

verwendet hast; denn

(g - h)^{2}

ist in der Regel nicht

g^{2} - 2 g h + h^{2}

, da der Endomorphismenring
nicht kommutativ ist.
Damit wäre also "1.

\Rightarrow

2." gezeigt.
Tipp: ganz nützlich könnte

i d_{V} = f + (i d_{V} - f)

sein, also

v = i d_{V} (v) = f (v) + (i d_{V} - f) (v)

für alle

v \in V

.
Gruß ermanus

StudiInf aktiv_icon

19:21 Uhr, 21.01.2019

Vielen Danke. Das hat mir sehr geholfe.

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