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Projektion, Norm

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Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Didgeridoo aktiv_icon

12:50 Uhr, 17.05.2014

Ich stehe momentan wohl ziemlich auf dem Schlauch...

Wieso ist $∣ ∣ P ∣ ∣ \geq 1$ in einem $ℂ$ - Banachraum, falls P eine Projektion ist?

Also $∣ ∣ P ∣ ∣ = sup_{∣ ∣ x ∣ ∣ = 1} ∣ ∣ P x ∣ ∣$ und ich weiss zudem, dass $∣ ∣ P x ∣ ∣^{2} = < P x, P x >$ , aber damit kann ich ja eigentlich auch nichts anfangen, denn ich weiss ja nicht, ob es sich um eine orthogonale Projektion handelt oder nicht...

Und wann ist es überhaupt >1, bei jedem Beispiel, dass ich mir angeschaut habe, hab' ich Norm 1 bekommen...

Ist wahrscheinlich eine ziemlich doofe Frage, aber ich kriegs einfach nicht hin.

Besten Dank schon im Voraus...

DrBoogie aktiv_icon

13:03 Uhr, 17.05.2014

"dass $∣ ∣ P x ∣ ∣^{2} = < P x, P x >$ "

In einem Banachraum gibt's keine Skalarprodukte, im allgemeinen Fall.

Der Beweis von $∥ P ∥ \geq 1$ für eine Projektion $\neq 0$ folgt sofort aus $P^{2} = P$ :
$∥ P ∥ = ∥ P^{2} ∥ \leq ∥ P ∥^{2} = > ∥ P ∥ = 0$ oder $∥ P ∥ = 1$ .

Was die Frage nach $∥ P ∥ > 1$ angeht, kenne ich keine Antwort vorerst, muss noch überlegen.

Didgeridoo aktiv_icon

13:45 Uhr, 17.05.2014

Ach, klar. Doof von mir... Ein Banachraum ist ja nicht zwingend ein Hilbertraum.
Danke vielmals.

DrBoogie aktiv_icon

18:42 Uhr, 17.05.2014

Es gibt Projektionen mit der Norm echt größer 1.
Z.B. auf dem Raum $c$ , der aus konvergenten Folgen besteht, und mit der Norm $sup_{n} ∣ a_{n} ∣$ ein Banachraum ist, kann man $P : (a_{1}, a_{2}, . . .) \to (a_{1} - lim a_{n}, a_{2} - lim a_{n}, . . .)$ definieren. Es gilt $P^{2} = P$ , aber $∥ P ∥ = 2$ .

Didgeridoo aktiv_icon

19:56 Uhr, 17.05.2014

Besten Dank für die Antwort...

Was ich aber noch nicht begreife, wieso ist das eine Projektion?
Denn ist nicht $P^{2} ((a_{1}, a_{2}, . . .)) = P ((a_{1} - lim a_{n}, a_{2} - lim a_{n}, . . .)) \neq P ((a_{1}, a_{2}, . . .))$
Also wenn zum Beispiel die konstante Folge: $a_{n} = 2$ anschauen, dann ist das ja eine konvergente Folge mit Grenzwert 2.
Also wäre doch dann $P^{2} ((a_{n})_{n}) = P (0, 0, . . .) = (- 2, - 2, . . .)$ , das ist doch nicht idempotent, oder doch?

LG Didgi

DrBoogie aktiv_icon

20:22 Uhr, 17.05.2014

Doch, natürlich ist
$P (a_{1} - lim a_{n}, a_{2} - lim a_{n}, . . .) = P (a_{1}, a_{2}, . . .)$ ,
denn $P (a_{1} - lim a_{n}, a_{2} - lim a_{n}, . . .) = (a_{1} - lim a_{n} - lim (a_{n} - lim a_{n}), a_{2} - lim a_{n} - lim (a_{n} - lim a_{n}), . . .) =$
$= . . .) = (a_{1} - lim a_{n}, a_{2} - lim a_{n}, . . .) = P (a_{1}, a_{2}, . . .)$ ,
weil $lim (a_{n} - lim a_{n}) = 0$ für alle Folgen $(a_{n})$ .

Didgeridoo aktiv_icon

20:31 Uhr, 17.05.2014

Ah, sorry. Doof von mir. Nehme alles zurück. Danke vielmals! :-)

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