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Projektion eines Punktes auf eine Gerade

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen, Projektion Punkt, Vektorrechnung

TillKS aktiv_icon

08:54 Uhr, 08.04.2010

Hallo Forum und Guten Morgen,

ich habe folgendes Problem-ich mathematisch echt nicht mehr fit.Doch benötige ich für eine Programm-Routine (Python) den Lösungswege zur Ermittlung eines Punktes auf einer Geraden.
Folgendes Problem: Ich habe drei Punkte mit bekannten Koordinaten in der Ebene (also nur

x

und

y)

. Zwei von drei Punkten bilden eine Gerade (ebenfalls bekannt), der dritte Punkt soll nun lotrecht auf die Gerade projeziert werden. Kann mir jemand ahand eines Beispiels (bitte mit Werten und ausführlich so dass man es leicht nachvollziehen kann) helfen?? Ich wäre Euch sehr dankbar.

Natürlich stelle ich den Python-Code dann hier auch zur Verfügung.

Grüße

Till

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sams83 aktiv_icon

09:22 Uhr, 08.04.2010

Hallo,

das geht wohl am einfachsten, indem Du eine Gerade bildest, die senkrecht auf der ersten Gerade steht und durch den Punkt 3 geht. Dann den Schnittpunkt zwischen den beiden Geraden ausrechnen.
Soweit die Idee klar und verständlich?

Dann wäre die Vorgehensweise so:

1)

Eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Gerade mit der Steigung

m

steht, hat die Steigung

- \frac{1}{m} .

2)

Setze Punkt

3

in die neue Geradengleichung ein, um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen.

3)

Damit steht Deine neue Gerade nun fest, den Schnittpunkt errechnest Du durch gleichsetzen der beiden Geraden.

Beispiel:

y = 2 x + 1

Punkt

(- 2 | 4,5)

neue Geradengleichung (senkrecht auf erster Gerade:

y' = - \frac{1}{2} x + b

Errechne

b

durch einsetzen des Punkts:

4,5 = - \frac{1}{2} \cdot (- 2) + b

b = 3,5

Also:

y' = - 0,5 x + 3,5

Schnittpunkt zwischen

y

und

y'

berechnen:

y = y'

2 x + 1 = - 0,5 x + 3,5

2,5 x = 2,5

x = 1

Einsetzen in eine der beiden Gleichungen, um y-Wert zu bestimmen:

y = 3

Also ist der projizierte Punkt:

(1 | 3)

Alles klar? Dann mal viel Spass beim Programmieren...

TillKS aktiv_icon

09:41 Uhr, 08.04.2010

Vielen Dank für Deine fixe Antwort. Aber ich muss gestehen,dass es bei mir wirklich sehr sehr lange her ist mit Mathe. Kannst Du (und jetzt wirds peinlich) mir vielleicht auch sagen wie du auf

y

bzw.

y'

kommst? *inGrundUndBodenschäm* auch wieder mit Bsp???

Das wäre sehr sehr nett-

TillKS aktiv_icon

10:03 Uhr, 08.04.2010

Ok,

y

habe ich jetzt wieder raus. So schwer wars nicht. Aber y'??????

Grüße

Sams83 aktiv_icon

14:19 Uhr, 08.04.2010

Sorry, hab gerade erst wieder reingeschaut...

Was ist Deine Frage? Wie man auf die Geradengleichung kommt? Oder wie man das

y

ganz am Schluss ausrechnet?
Das

y'

ist ganz am Schluss (beim Berechnen des Punkts) dasselbe wie

y,

denn es ist ja der Schnittpunkt gesucht

(x

und

y

sind also gleich)

TillKS aktiv_icon

16:34 Uhr, 08.04.2010

Hallo, nett von Dir dass Du nochmal vorbeischaust.

Ja, wie man da drauf kommt.
Gruesse

Sams83 aktiv_icon

16:56 Uhr, 08.04.2010

Also, allgemein eine Gerade in der x-y-Ebene kannst Du immer schreiben als:

y =

mx+b
Dabei ist

m

die Steigung der Gerade und

b

der y-Achsenabschnitt.

In meinem Beispiel habe ich jetzt bei

y

einfach eine beliebige Gerade genommen, also beliebige Werte fuer

m

und

b

eingesetzt.

m = 2, b = 1

y'

zu bestimmen, musst Du also das

m'

und das

b'

bestimmen, so dass

y'

senkrecht auf

y

steht und durch den Punkt 3 läuft.

Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, gilt fuer die Steigung:

m' = - \frac{1}{m}

In diesem Fall also:

m' = - \frac{1}{2}

Damit wäre

m'

also schonmal klar.

b'

berechnest Du, indem Du den Punkt

3

in die Geradengleichung einsetzt.

Jetzt klarer oder habe ich Deine Frage noch immer falsch verstanden?

TillKS aktiv_icon

08:52 Uhr, 09.04.2010

Hallo und guten Morgen,

so ich denke ich habe es jetzt raus.

Schau mal hier, ich habe mich an dem orientiert:

http//www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p1_lin_fkt_t_03/p1_lin_fkt_t_03_e.htm#abs9

Dann komm ich mit meinem Skript auch auf die jeweiligen Ergebnisse. Wieso hat der einen anderen Weg als Du zuvor beschrieben?

Liebe Grüße

Sams83 aktiv_icon

09:43 Uhr, 09.04.2010

Hallo,

er hat keinen anderen Weg gewählt, sondern exakt denselben:

Hier ist eine Aufgabe ausfuehrlich beschrieben:

http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p1_lin_fkt_t_03/p1_lin_fkt_t_03_b2.htm

1. Schritt: Berechnen der Geradensteigung der Geraden, die senkrecht zur anderen Geraden verläuft: Steigung

= - \frac{1}{m}

2. Schritt: Berechnen des y-Achsenabschnittes durch Einsetzen des Punkts. Im Beispiel

a_{0 g 2}

genannt, bei mir

b .

Damit hast Du zwei Geraden,

y

und

y',

bzw.

g 1 (x)

und

g 2 (x),

durch gleichsetzen berechnest Du das

x

des Schnittpunkts, durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen dann den y-Wert.

Also, genau derselbe Vorgang . . .

Naja, hauptsache, Du hast's herausbekommen :-)

TillKS aktiv_icon

10:48 Uhr, 09.04.2010

Hallo und vielen Dank für Deine Unterstützung.

Wünsche Dir noch ein schönes Wochenende.

ahmedhos aktiv_icon

11:01 Uhr, 09.04.2010

hier stand nur mist :-)

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