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Projektionsmatrix aus Vektor

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Amnesia aktiv_icon

11:18 Uhr, 27.12.2016

Hey,

ich soll aus einem normalen Vektor die zugehörige Projektionsmatrix berechnen.
Hab schon viel gegoogelt aber leider nichts hilfreiches gefunden.
Hoffe das ihr mir helfen könnt.

Aufgabe:
Gegeben sei der Normalenvektor

v = (\begin{array}{rcl} 0 \\ - 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})

Berechnen Sie die zugehörige Projektionsmatrix. Runden Sie die Einträge jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma.

Habe mir eben dieses Video angeguckt und auch verstanden was eine Projektionsmatrix ist.

www.youtube.com/watch?v=hQxghgW90JA

Wie ich das jetzt aber auf meine Aufgabe anwende weiß ich leider nicht.

Hoffe das mir jemand helfen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:28 Uhr, 27.12.2016

Du musst nur rausfinden, was die Projektionen der Vektoren

(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)

und

(0, 0, 0, 1)

sind. Die Projektion

p_{u}

von

u

hat die Eigenschaft:

u - p_{u}

ist kollinear zu

v

Amnesia aktiv_icon

11:45 Uhr, 27.12.2016

Und wie mache ich das dann?

Muss ich einfach das Kreuzprodukt zwischen meinem Vektor und (1,0,0,0), (0,1,0,0) ... bilden?

DrBoogie aktiv_icon

11:46 Uhr, 27.12.2016

Was ist z.B. die Projektion von

(0, 1, 0, 0)

?
Da

u - p_{u}

kollinear zu

v

ist, gibt's eine Zahl

a

mit

u - a v = p_{u}

.
Damit suchen wir ein

a

so, dass

u - a v

in der Projektionsebene liegt. Für

u = (0, 1, 0, 0)

und

v = (0, - 2, - 1, - 2)

ist es also die Bedingung:

(0, 1 + 2 a, a, 2 a)

liegt in der Ebene, die zu

v

normal ist (und durch

0

geht). Das ist die Ebene, die durch

- 2 x_{2} - x_{3} - 2 x_{4} = 0

beschrieben wird. Also muss

(0, 1 + 2 a, a, 2 a)

diese Gleichung erfüllen. Damit muss

2 (1 + 2 a) + a + 4 a = 0

sein, voraus

a = - \frac{2}{9}

folgt. Damit ist die Projektion von

(0, 1, 0, 0)

der Vektor

(0, \frac{5}{9}, \frac{- 2}{9}, \frac{- 4}{9})

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11:47 Uhr, 27.12.2016

"Muss ich einfach das Kreuzprodukt zwischen meinem Vektor und (1,0,0,0), (0,1,0,0) ... bilden?"

In einem 4-dimensionalen Raum gibt's keine Kreuzprodukte.

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