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Projektionspunkt auf Ebene

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: eben, Flächen, Vektor, Vektorraum

PZT2020 aktiv_icon

17:37 Uhr, 21.11.2020

Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht voran. Habe schon so ziemlich alle Daniel Jung Videos dazu angeschaut und den Papula 1 zerfleddert vor Wut.

Wie lauten die Projektionspunkte

P

des Punktes Q=(0,−4,−3)

auf:

a)

die Koordinatenebene

x - z;

(die konnte ich lösen)

b)

die Fläche

z = 7 x + 6 y

(Absolut kein Plan)

c)

die Fläche 7x+6y+6z=−9 (genau so wenig)

Ich nehme mal an es geht über den Normalenvektor, aber wie bekomme ich aus dieser Gleichung

z = 7 x + 6 y

die Komponentenschreibweise? Oder ist das gar nicht nötig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

rundblick aktiv_icon

17:47 Uhr, 21.11.2020

.
"Absolut kein Plan"

Tipp:
lege durch

Q

eine Normalgerade

n

zu der jeweiligen Ebene

E

und berechne die Koordinaten
des Durchstosspunktes von

n

durch

E

mach mal

: ... .

.
.

kingbe aktiv_icon

17:49 Uhr, 21.11.2020

Sind das alle Informationen von dem Blatt? Weil

z = 7 x + 6 y

ist für mich keine Fläche.
Ansonsten würd ich nach 0 umformen, die Vektoren als Eckpunkte der Flächen sehen.
Nun nimmst du den Normalenvektor der Fläche und schaust, das du diesen mit dem Projektionspunkt unter eine Funktion bringst.
Da du die Normale durch den Punkt hast schaust du, in welchem Punkt er auf die Fläche trifft (rechter Winkel vorhanden

\Rightarrow

welche Formel kannst du dafür benutzen, dass eine Gerade im rechten Winkel auf eine Fläche trifft)
Gruß

PZT2020 aktiv_icon

17:53 Uhr, 21.11.2020

Aber wie erstelle ich aus

z = 7 x + 6 y

den Normalenvektor?

rundblick aktiv_icon

18:01 Uhr, 21.11.2020

.
"Aber wie erstelle ich aus

z = 7 x + 6 y

den Normalenvektor? "

7 x + 6 y - z = 0 . .

. ist die Gleichung einer Ebene .. (nicht Fläche

!)

e i n e n

möglichen Normalenvektor bekommst du zB mit den Koeffizienten

\to \vec{n} = (\begin{matrix} 7 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix})

ok?
.

PZT2020 aktiv_icon

18:20 Uhr, 21.11.2020

Ich habe die Aufgabe einfach so copy&paste vom Prof übernommen der Ausdruck "Fläche" stammt von ihm.

Muss ich nicht aus der Gleichung

z = 7 x + 6 y

die Komponentenform erstellen? Halt diese "Schreibweise" mit Ortsvektor,

Λ

und μ?

rundblick aktiv_icon

18:34 Uhr, 21.11.2020

.
"vom Prof übernommen der Ausdruck "Fläche" .."

\to

sag deinem Prof. , dass eine Fläche eine

\to

begrenzte

!!

geometrische Figur ist

und mit

0 = 7 x + 6 y - z

hast du eine Gleichung einer Ebene gegeben ( die hat keine Grenzen :-) )

"Muss ich nicht aus der Gleichung

z = 7 x + 6 y

die Komponentenform erstellen?"

\to N E I N .

. sei froh, dass du eine Koordinatengleichung gegeben hast
aber notiere sie in dieser Form

\to 0 = 7 x + 6 y - z

das macht es nachher leichter und ausserdem bekommst du gratis einen Normalenvektor geliefert

nebenbei:
kontrolliere:
hast du hier denn alle Zahlenwerte von

Q

und von den Ebenen wirklich richtig notiert?

.

PZT2020 aktiv_icon

19:40 Uhr, 21.11.2020

ich weiß es wirlich nicht was ich machen muss...
Im Papula gib es eine Anwendung "Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor" ich denke, das könnte es sein.

n \cdot (r - r 1) = 0

aber ich weiß echt nicht was ich machen soll...

rundblick aktiv_icon

19:50 Uhr, 21.11.2020

.
"aber ich weiß echt nicht was ich machen soll..."

habe ich dir doch schon zu Beginn notiert ? !

kannst du die Gleichung einer Geraden

n

notieren ,
die durch

Q

geht und den Richungsvektor

\vec{n} = (\begin{matrix} 7 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix})

hat ?

\to

schneide dann diese Gerade mit der Ebene

E : 7 x + 6 y - z = 0

\Rightarrow

Schnittpunkt

D =

?

fertig

aber:
du solltest doch vorher noch alle gegebenen Zahlenwert kontrollieren
(hast du die alle richtig notiert?)

. .

.
.

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20:00 Uhr, 21.11.2020

die Daten sind alle richtig alles copy & paste...

Lösung über: "Punkt-Richtungs-Form einer Graden"?
Richtungsvektor ist dann n?

rundblick aktiv_icon

20:17 Uhr, 21.11.2020

.
Gerade

n \to (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ - 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 6 \\ - 1 \end{matrix})

also

\to

x = 0 + 7 t

y = - 4 + 6 t

z = - 3 - t

einsetzen in die Gleichung der Ebene

7 x + 6 y - z = 0

gibt eine Gleichung für

t .

. damit also

t

berechnen

dieses

t

dann bei der Geraden

n

einsetzen gibt den gesuchten Lotfussṕunkt

D

fertig.
.

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05:32 Uhr, 22.11.2020

7 (0 + 7 t) + 6 (- 4 + 6 t) - (- 3 - t) = 0

86 t - 21 = 0

t = \frac{21}{86}

x = 0 + (\frac{21}{86}) \cdot 7 = 1,709

y = - 4 + (\frac{21}{86}) \cdot 6 = - 2,53

z = - 3 + (\frac{21}{86}) \cdot - 1 = - 3.24

leider wird mir das Ergebnis in der Plattform als falsch angezeigt...

Die letzte Aufgabe wird mir auch als falsch angezeigt...

(2.115; - 2.187; - 5,439) : (

Respon

10:08 Uhr, 22.11.2020

Da scheitert es wohl an der "Plattform" und der Eingabe der gerundeten Werte.
Kannst du keine Brüche eingeben ?

x = \frac{147}{86}

y = - \frac{109}{43}

z = - \frac{279}{86}

3. Beispiel

t = \frac{3}{11}

\Rightarrow

x = \frac{21}{11} \approx 1,91

y = - \frac{26}{11} \approx - 2,36

z = - \frac{15}{11} \approx - 1,36

PZT2020 aktiv_icon

10:47 Uhr, 22.11.2020

erst einmal besten DANK!

bei mir wird keins der Ergebnisse als richtig übernommen auch nicht die a

Wie lauten die Projektionspunkte

P

des Punktes Q=(0,−4,−3)
auf:

a)

die Koordinatenebene x−z; (die konnte ich lösen)

Ich habe da

(0,0 - 3)

das sollte eigentlich richtig sein...

Respon

10:50 Uhr, 22.11.2020

a)

ist korrekt

. .

. und die anderen Ergebnisse stehen ja weiter oben.

anonymous

21:20 Uhr, 15.10.2022

Könntest du bitte erklären, wie Du auf das Ergebnis des Beispiels 3 gekommen bist? Denn ich hab die gleiche Aufgabe bekommen, hab aber keine Ahnung wie ich sie lösen kann.

rundblick aktiv_icon

21:39 Uhr, 15.10.2022

.
@Tritt:

diese Aufgabe ist ja auch nicht mehr die "Jüngste"

(\to 2020!)

schreibe doch einen eigenen, neuen Beitrag - und notiere da dann genau,
welches denn nun konkret deine spezielle Frage ist

. .

.

ok?

Roman-22

23:01 Uhr, 15.10.2022

>

→ sag deinem Prof. , dass eine Fläche eine → begrenzte

!!

geometrische Figur ist
Sorry, aber das war vor zwei Jahren auch schon grober Unfug.
Eine Fläche ist eine zweidimensionale Teilmenge des dreidimensionalen Raumes.
Und eine Ebene ist somit sehr wohl auch eine spezielle Fläche.

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