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Projektive Ebene

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Tags: projektiver Raum, Sonstig

 
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juliad01

juliad01 aktiv_icon

15:50 Uhr, 05.01.2020

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Aufgabe:
Sei (P,G,I) eine affine Ebene. Bezeichne mit G/parallel die Menge der ” Richtungen“, also der Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation ” parallel“.
Wie in der Vorlesung definieren wir eine neue Struktur ( P(Dach), G(Dach), I(Dach)) wie folgt. Wir fügen die Richtungen als neue Punkte hinzu: ˆP(Dach):= P⊔(G/||) Es gibt eine neue Gerade, genannt ”∞“: ˆ G(Dach) := G⊔{ ∞} Drei Sorten von Inzidenzen: die Inzidenzen der gegebenen affinen Ebene; zusätzlich ist jede ” alte“ Gerade gG zu ihrer Richtung ¯g ∈ G/parallel inzident; zuletzt ist dieGerade ∞ genau zu den Richtungen inzident.
ˆI(Dach) :=I{(¯g,g) :g ∈G} ⊔ {(¯g,∞) :g ∈G}

Zeigen Sie, dass in dieser Struktur Axiom (P4) für projektive Ebenen gilt.

Lösungsansatz:
Schnittpunkt in G berechnen, wenn G und P nicht parallel sind
Schnittpunkt in P(Dach), wenn sie parallel sind
normale Gerade , die in unendlichen geschnitten wird

So richtig weiß ich aber nicht, wie ich anfange und es formal richtig aufschriebe.






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ermanus

ermanus aktiv_icon

16:49 Uhr, 05.01.2020

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Hallo,
was verstehst du unter einer affinen Ebene, meinst du den Begriff der
synthetischen Geomatrie oder den der analytischen Geometrie?
Wie lautet das Axiom (P4)?
Gruß ermanus
juliad01

juliad01 aktiv_icon

16:55 Uhr, 05.01.2020

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Hallo,
ich meine dabei die affine Ebene der synthetischen Geometrie.
Das Axiom (P4) lautet:
g,h Element G mit g ungleich h Existier genau ein A Element P:A Element g,h

LG Julia
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:58 Uhr, 05.01.2020

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Also: je zwei beliebige verschiedene Geraden haben genau einen gemeinsamen Punkt,
den Schnittpunkt ...
Ich denke weiter über deine Aufgabe nach ;-)
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ermanus

ermanus aktiv_icon

17:35 Uhr, 05.01.2020

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1. Den Fall, dass zwei Geraden sich bereits in der ursprünglichen
affinen Ebene schneiden, hast du ja bereits abgehandelt.
Nun bleiben noch die folgenden Fälle zu begründen:
2. zwei "normale" parallele Geraden: die schneiden sich in ihrem "Richtungspunkt".
3. eine "normale" Gerade und die Gerade :
die schneiden sich im "Richtungspunkt" der Geraden, der ja auf liegt.
Nun kann man das sicher noch formalisieren. Ob es dadurch besser wird,
weiß ich nicht so recht.
Vielleicht muss man noch die Einzigkeit (Eindeutigkeit) der Schnittpunkte
begründen ?
Bin leider kein "Geometer" ;-)
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