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Aufgabe: Sei eine affine Ebene. Bezeichne mit G/parallel die Menge der ” Richtungen“, also der Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation ” parallel“. Wie in der Vorlesung definieren wir eine neue Struktur ( P(Dach), G(Dach), I(Dach)) wie folgt. Wir fügen die Richtungen als neue Punkte hinzu: ˆP(Dach):= P⊔(G/||) Es gibt eine neue Gerade, genannt ”∞“: ˆ G(Dach) G⊔ ∞} Drei Sorten von Inzidenzen: die Inzidenzen der gegebenen affinen Ebene; zusätzlich ist jede ” alte“ Gerade ∈ zu ihrer Richtung ¯g ∈ G/parallel inzident; zuletzt ist dieGerade ∞ genau zu den Richtungen inzident. ˆI(Dach) ⊔ (¯g,g) ∈G ⊔ {(¯g,∞) ∈G
Zeigen Sie, dass in dieser Struktur Axiom für projektive Ebenen gilt.
Lösungsansatz: Schnittpunkt in berechnen, wenn und nicht parallel sind Schnittpunkt in P(Dach), wenn sie parallel sind normale Gerade , die in unendlichen geschnitten wird
So richtig weiß ich aber nicht, wie ich anfange und es formal richtig aufschriebe.
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, was verstehst du unter einer affinen Ebene, meinst du den Begriff der synthetischen Geomatrie oder den der analytischen Geometrie? Wie lautet das Axiom (P4)? Gruß ermanus
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Hallo, ich meine dabei die affine Ebene der synthetischen Geometrie. Das Axiom lautet: Element mit ungleich Existier genau ein A Element Element
LG Julia
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Also: je zwei beliebige verschiedene Geraden haben genau einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt ... Ich denke weiter über deine Aufgabe nach ;-)
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1. Den Fall, dass zwei Geraden sich bereits in der ursprünglichen affinen Ebene schneiden, hast du ja bereits abgehandelt. Nun bleiben noch die folgenden Fälle zu begründen: 2. zwei "normale" parallele Geraden: die schneiden sich in ihrem "Richtungspunkt". 3. eine "normale" Gerade und die Gerade : die schneiden sich im "Richtungspunkt" der Geraden, der ja auf liegt. Nun kann man das sicher noch formalisieren. Ob es dadurch besser wird, weiß ich nicht so recht. Vielleicht muss man noch die Einzigkeit (Eindeutigkeit) der Schnittpunkte begründen ? Bin leider kein "Geometer" ;-)
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