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Projektive Geometrie
Universität / Fachhochschule
Tags: Projektive Geometrie, projektiver Raum
 
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Hi, ich soll zeigen oder widerlegen, dass es eine Bijektion zwischen und der Menge gibt. Ich sollte bereits zeigen, dass mit der Menge , die aus nur einem Punkt besteht, gilt. Außerdem weiß ich, dass gilt. Für muss dann ja gelten , was ja offensichtlich falsch ist, weil gilt... Stimmt die Behauptung deshalb nicht oder habe ich einen Fehler? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, seltsam! Woher meinst du zu wissen, dass sei? Gruß ermanus |
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Hi ermanus, per Definition ist die Menge aller eindimensionalen Untervektorräume von . Die einzigen Untervektorräume von sind aber der Nullvektorraum und selber. Der Nullvektorraum ist aber 0-dimensional, da die Basis die leere Menge ist und ist eindimensional. Also ist nach Definition gleich . |
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hat nur einen Untervektorraum der Dimension , also hat nur Element. |
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Aber die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von besteht doch dann aus oder nicht? |
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Ja, also gilt , besitzt also nur 1 Element. Es geht um die Menge der Unterräume, nicht um die Menge der Elemente der Unterräume. |
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Achso, danke jetzt habe ich den Unterschied verstanden. Wie könnte ich denn dann obige Behauptung beweisen? Mit Induktion? |
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Ich habe mit dieser Aufgabe, so wie du sie hier darstellst ein großes Problem. 1. Die erste Unklarheit besteht darin, dass nicht klar definiert ist. Ist damit die disjunkte Vereinigung der beiden Mengen gemeint? 2. Ist irgendeine Bijektion gefragt oder muss diese irgendwelchen strukturellen Forderungen genügen? 3. Ist wirklich nur als Körper gemeint oder vielleicht ein beliebiger Körper? So, wie es da steht, gibt es für jedes Paar für eine Bijektion . Wie lautet denn die Originalaufgabe? |
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Die Aufgabe lautet: „Zeigen oder widerlegen Sie, dass es eine Bijektion zwischen und der Menge gibt.“ |
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OK. Dann ist die Aufgabe so schlampig gestellt, dass ich sie nicht bearbeiten kann. Tut mir Leid, ich hätte dir gern geholfen. Gruß ermanus |
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Aber deine Unklarheiten könnten doch wie folgt beantwortet werden: 1. ja, es bezeichnet die disjunkte Vereinigung 2. nein, es reicht eine beliebige Bijektion 3. ja, wir betrachten nur den Körper der reellen Zahlen |
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Eine natürlichere Zuordnung wäre eine "kanonische" Bijektion , indem man eine projektive Hyperebene als im Unendlichen liegend "ausguckt" und den Raum in den zugehörigen affinen Teil und die Hyperebene disjunkt zerlegt. |
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Hier noch eine Beschreibung der "kanonischen" Bijektion. Die Punkte von seien durch die homogenen Koordinaten beschrieben. Dann ist die von mir gemeinte Bijektion: Die Bilder der ersten Zeile liefern , die Bilder der zweiten Zeile liefern und offenbar ist diese Abbildung injektiv. |
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Vielen Dank für deinen Tipp, diese Funktion hatte ich tatsächlich bereits auch überlegt. Ich weiß aber nicht, wie ich formal zeigen kann, dass die Funktion bijektiv ist. Der zweite Teil der Funktion, der auf abbildet, ist ja offensichtlich bijektiv, weil ich auf abbilde. Wie zeige ich die Bijektivität des ersten Teils? |
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Hallo, die Teilabbildung für ist surjektiv wegen . Ihre Injektivität ergibt sich so: Aus folgt für , also für . Mit ist dann in , also in . Gruß ermanus |
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Vielen lieben Dank, du hast mir total weitergeholfen! |
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