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Projektoren auf Eigenräume

Universität / Fachhochschule

Tags: Eigenraum, Projektoren

yellowman

15:05 Uhr, 06.12.2016

Hallo gegeben ist die Matrix

A

A = (\begin{array}{rcl} 2 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

Die Eigenwerte und Eigenvektoren lauten:

λ_{1} = 1

und

λ_{2} = 1

und

λ_{3} = 4

Die Eigenbasis ist damit

{(0, 0, 1), \frac{1}{\sqrt{3}} (- \sqrt{2}, 1, 0), \sqrt{\frac{2}{3}} (\frac{1}{\sqrt{2}}, 1, 0)}

Aufgabe: Bestimme die Projektoren

P_{i}

auf die Eigenräume

V_{i}

. Starte dabei von einer Ket Bra Schreibweise in der Basis der Eigenvektoren von

A

und führe diese über in eine Matrixschreibweise bezüglich der Basis

E

. Prüfe in letzterer Darstellung dann das gilt:

P_{i}^{2} = P_{i}

und

P_{i}^{†} = P_{i}

Meine Ideen: Ich habe schonmal die Eigenwerten und Eigenvektoren von

A

bestimmt. Mir fehlt es allerdings nun wie ich die Projektoren

P_{i}

bestimmen kann.

Kann mir jemand helfen?

Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:46 Uhr, 06.12.2016

Hallo,

die orthogonale Projekton auf einen eindimensionalen Raum, aufgespannt von einem Einheitsvektor

w

ist

P (x) = < x, w > \cdot w

Gruß pwm

yellowman

18:07 Uhr, 06.12.2016

Hallo pwmeyer, das bedeutet also konkret für meine Aufgabe:

P_{1} (x) = < (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}, (0, 0, 1)^{T} > \cdot (0, 0, 1)^{T} = x_{3} \cdot (0, 0, 1)^{T}

P_{2} (x) = < (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}, (\sqrt{(} 2 / 3), \sqrt{1 / 3}, 0)^{T} > (\sqrt{(} 2 / 3), \sqrt{1 / 3}, 0)^{T} = (x_{1} \sqrt{2 / 3} + x_{2} \sqrt{1 / 3}) \cdot (\sqrt{2 / 3}, \sqrt{1 / 3}, 0)^{T}

P_{3} (x) = < (x_{1}, x_{2}, x_{3}), \sqrt{2 / 3} (\sqrt{1 / 2}, 1, 0) > = (x_{1} \sqrt{1 / 3} + x_{2} \sqrt{2 / 3}) \cdot (\sqrt{1 / 2}, 1, 0)^{T}

Wäre das so korrekt? Diese sollen nun in Matrixschreibweise bezüglich der Basis

E = {e_{x}, e_{y}, e_{z}}

überführt werden. Was ist hier zu tun?

Anschließend soll geprüft werden das

P_{i}^{2} = P_{i}

und

P_{i}^{†} = P_{i}

gilt.

Passt das soweit?

Grüße

yellowman

18:44 Uhr, 07.12.2016

Kann noch jemand helfen?

pwmeyer aktiv_icon

15:03 Uhr, 08.12.2016

Hallo,

D

uhast bei

P_{2}

oder

P_{3}

ein Minus vergessen.

Du uschst Matrizen

A_{i},

so dass

\forall x \in ℝ^{3} : P_{i} x = A_{i} \cdot x

. Das muss insbesondere für die Basisvektoren

e_{x}, e_{y}, e_{z}

gelten, damit lassen sich die

A_{i}

bestimmen.

Gruß pwm

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