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Prüfe Abbildung auf Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Distribution, einfache aufgabe, Stetigkeit

anonymous

11:37 Uhr, 08.12.2018

Guten Morgen alle zusammen,

gegen sei folgende (einfache) Abbildung:

T [φ] \equiv \int_{0}^{1} φ^{(k)} (t) d t

.

Es ist zu entscheiden, ob die Abbildung

T

eine Distribution ist.

Wir haben Distributionen als

l i n e a r e

s t e t i g e

Abbildungen definiert,
wobei Stetigkeit bedeutet, dass für

φ_{ν} \to φ

auf dem Raum der Testfunktion

D (R^{n})

(i. e., Konvergenz auf dem Raum der Testfunktionen)

T [φ_{ν}] \to T [φ]

. (Im Anhang schicke ich euch etwas aus unserem Skript dazu.)
So, meine Frage ist, wie ich das hier prüfen kann.

Mein Ansatz lautet:

lim_{ν \to \infty} T [φ_{ν}] = lim_{ν \to \infty} \int_{0}^{1} φ_{ν}^{(k)} (t) d t

.
So, aber um den Limes ins Integral ziehen zu können, bräuchte ich den Satz von der majorisierten Konvergenz,
i. e. es

\exists

eine (Lebesgue)-integrierbare Majorante von

∣ φ_{ν} ∣

, außerdem haben die

φ_{ν}

eine eine Folge integrierbarer Funktionen zu sein.

Also die Linearität von

T

ist trivial, bei der Stetigkeit tue ich mir leider noch ein bisschen schwer und würde mich dementsprechend über Tipps freuen!

Beste Grüße
Hazard

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Domares aktiv_icon

16:42 Uhr, 10.12.2018

Schau dir mal das an:

de.wikipedia.org/wiki/Gleichmäßige_Konvergenz#Integrierbarkeit

anonymous

20:13 Uhr, 10.12.2018

Moin Domares,

vielen Dank für den Link!

Mal abgesehen von der Aufgabe, würde mich interessieren, warum die Distribution wohldefiniert sein soll. Gilt (Lebesgue-)Integrierbarkeit immer für

φ \in D (ℝ^{n})

?

Wir hatten letzte Woche in der Übungsgruppe besprochen, dass folgende lineare Abbildung eine Distribution sei, wobei wir dies schnell durchgegangen sind, um uns noch anderen Aufgaben widmen zu können:

T [φ] := ({(\frac{\partial}{\partial x})}^{3} φ) (0)

Die Linearität ist trivial, die Stetigkeit ist mir noch nicht klar. Könntest du mir das bitte (kurz) erklären? Vielen Dank im Voraus!

anonymous

20:37 Uhr, 10.12.2018

Ich hake noch einmal nach: Du hast mir ja den Wikipedia-Link geschickt,
aber woher weiß ich, dass

φ^{k} (t)

Riemann-intergrierbar ist? Immerhin könnte ja die Testfunktion Leb.-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar sein.

Aber wir hatten einen Satz in der Vorlesung, dass wenn

f

eine über einem kompakten Intervall Riemann-integrierbare Funktion ist, diese Funktion

f

dann auch Lebesgue-int.bar ist und dass
die beiden Integrale übereinstimmen ...

Domares aktiv_icon

21:00 Uhr, 10.12.2018

Moin Hazard,

Alle Testfunktionen sowie deren sämtliche Ableitungen sind integrierbar, wobei Riemann und Lebesgue Begriff zusammenfallen (siehe auch de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral#Riemann-Integrierbarkeit, denn:

1.) Jede Testfunkton hat einen kompakten Träger K
2.) Die Träger der Ableitungen einer Testfunktion sind notwendigerweise in K enthalten.
3.) Die Stetigkeit der Testfunktion und all ihrer Ableitungen garantiert mit 1.) & 2.) auch die Beschränktheit der Testfunktion sowie all deren Ableitungen.

Ad Bsp.: Zu zeigen:

\frac{\partial^{3} φ_{v}}{\partial x^{3}} (0) \to \frac{\partial^{3} φ}{\partial x^{3}} (0)

das ist gleichbedeutend zu: Die Funktionenfolge konvergiert punktweise bei 0.
Von unserer Funktionenfolge

φ_{v}

erwarten wir per Definition: Die Testfunktionen

φ_{v}

und sämtliche Ableitungen konvergieren gleichmäßig gegen

φ

und deren Ableitungen.
Also konvergiert auch

\frac{\partial^{3} φ_{v}}{\partial x^{3}}

gleichmäßig gegen

\frac{\partial^{3} φ}{\partial x^{3}}

. Somit muss

\frac{\partial^{3} φ_{v}}{\partial x^{3}}

insbesondere überall punktweise konvergieren und folglich auch bei 0.

anonymous

21:25 Uhr, 10.12.2018

Hi Domares,

vielen Dank, das Beispiel aus der Übungsgruppe hatte ein mulmiges Gefühl in mir hinterlassen,
da ich es nicht verstanden hatte. Ich denke, dass es jetzt klarer ist.

Da ich mich noch unsicher mit dem Thema fühle, schicke ich schon einmal zwei Aufgaben vor, an denen ich gerade mein Verständnis vertiefen möchte:

T_{1} [φ] := \sum_{n = 0}^{\infty} φ (n^{2})

T_{2} [φ] := \int_{- \infty}^{\infty} e^{t^{2}} φ (t) d t

Ich möchte am Ende entscheiden können, ob die Abbildungen

T_{1}

und

T_{2}

Distributionen definieren und welche der Abbildungen temperierte Distributionen definieren. So, ich mache mir mal darüber Gedanken und schreibe diese dann ins Forum, um sicher zu gehen, dass ich es auch richtig verstehe.
(Da ich jetzt zu müde bin, hoffe ich, mir schon morgen Gedanken machen zu können.
Würde ich die Aufgaben jetzt aber nicht schon schicken, dann würde ich es entweder vergessen oder nicht mehr machen ...) Ich hoffe, dass das okay ist, wenn ich dir so viele Fragen stelle! :-)

Beste Grüße
Imahn

anonymous

19:51 Uhr, 12.12.2018

Hi Domares,

ich habe mal ein Bsp. aus unserem Skript gefunden:

Wir haben gesagt, dass

e^{- α \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣^{2}}

für jedes

α > 0

S

sei (i. e., im Schwartz-Raum). Nun möchte ich dies nachvollziehen, bevor ich mich den Aufgaben widme.

(Die Definition des Schwartz-Raumes schicke ich dir im Anhang.)

(i) zu zeigen:

\exists C_{α, β} \in ℝ_{+}

, so dass

∣ x^{β} \cdot \partial^{α} φ (x) ∣ \leq C_{α, β}

.

Also bei der Beispielfunktion aus unserem Sktipt vermute ich, dass

x \in ℝ^{n}

(stimmst du mir da zu)?

(ii) Ich möchte noch zeigen, dass

{(1 + ∣ ∣ x ∣ ∣)}^{j} \partial^{α} (φ_{k} - φ) (x)

gegen

0

auf ganz

ℝ^{n}

gleichmäßig konvergiert. Was ist in diesem Fall für das Beispiel

e^{- α \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣^{2}}

φ_{k}

?

Ich habe leider noch keine Erfahrung mit dem Thema und fühle mich, um ehrlich zu sein, ein bisschen ,,eingeschüchtert" vom ganzen Formalismus. Über entpsrechende Hinweise würde ich mich sehr freuen ...

Vielen Dank! Auf die Aufgaben werde ich noch zurückkommen. ;-)

Imahn

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20:45 Uhr, 12.12.2018

Hallo Hazard,

ad i): Ja, es ist

x \in ℝ^{n}

.

ad ii): Da wirst du nichts zeigen können, da keine Folge

φ_{k}

gegeben ist.

Wenn du für die Beispielfunktionen

e^{- α \cdot ∥ x ∥^{2}}

zeigen möchtest, dass diese im Schwartz-Raum sind: Fang erst einmal mit n=1 an.

Gruß Domares

anonymous

22:34 Uhr, 12.12.2018

Sei

n = 1

, id est

x \in ℝ

e^{- α \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣} = e^{- α \cdot ∣ x ∣}

Um mich an die Notation aus dem Anhang (siehe letzten Post) zu halten:

x^{β} = x_{1}^{β_{1}}

So, warum existiert nun ein

C_{α, β} \in ℝ_{+}

?

Beste Grüße
Imahn

Domares aktiv_icon

22:28 Uhr, 13.12.2018

Es tut mir leid, aber die Existenz von

C_{α, β} \in ℝ

werde ich hier nicht vorrechnen, dass sollte machbar sein. Noch einmal: Gegeben ist die Funktionenschar

α \in ℝ_{+}

f_{α} (x) = e^{- α \cdot x^{2}}

Zu zeigen:

f_{α} \in S

, also genau dann, wenn

1.)

f_{α}

ist beliebig oft differenzierbar (Kurze Begründung genügt an dieser Stelle)
2.) Für alle

j, k \in ℕ : \exists C_{j, k} \in ℝ : sup_{x \in ℝ} ∣ x^{j} f_{α}^{(k)} (x) ∣ \leq C_{j, k}

So, nun stelle man sich die Frage warum ist

∣ f_{α} (x) ∣

auf

ℝ

beschränkt?
Anschließend: warum ist

\forall j \in ℕ : ∣ x^{j} f_{α} (x) ∣

auf

ℝ

beschränkt?

Wenn man diese 2 Punkte gezeigt hat, kann man sich überlegen, welche allgemeine Bauart die k-te Ableitung von

f_{α}

hat. Und aufgrund dessen wird man zum Schluss kommen, dass die Argumentation von den ersten 2 bewiesenen Punkten auch weiterhin für die k-te Ableitung gültig ist.

Gruß Domares

anonymous

17:21 Uhr, 16.12.2018

Hi Domares,

ich hatte gestern und heute viel mit Physik zu tun, deshalb erst jetzt meine Antwort.

Vielleicht rechne ich das mit

e x p (- α \cdot x^{2}) \in S

mal zu Weihnachten durch, auch wenn es zu Weihnachten andere Sachen zu rechnen/beweisen gibt. :-)

Jetzt komme ich mal zu den zwei Aufgaben zurück:

T_{1} [ϕ] := \sum_{n = 0}^{\infty} ϕ (n^{2})

(i) Ist

T

linear?

T [ϕ + Ψ] = \sum_{n = 0}^{\infty} (ϕ (n^{2}) + Ψ (n^{2}))

Warum kann ich die Reihe ,,aufsplitten"?

(ii) Sei

lim ϕ_{k} = ϕ

auf dem Schwartz-Raum gegeben (ich bin zu faul, jedes Mal

lim_{k \to \infty}

zu schreiben), gilt dann

lim T [ϕ_{k}] = T [ϕ]

, wobei

ϕ \in S

lim T [ϕ_{k}] = lim \sum_{n = 0}^{\infty} ϕ_{k} (n^{2})

Jetzt stellt sich mir natürlich die Frage, ob ich den Limes einfach in die Reihe reinziehen kann/darf. Ich kann mich leider an keinen Satz erinnern, der mir dies erlauben würde.

Wenn dies erlaubt ist, hätte ich dann

lim T [ϕ_{k}] = \sum_{n = 0}^{\infty} lim ϕ_{k} (n^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} ϕ (n^{2})

(in unserem Skript steht dazu, dass gleichmäßige Konvergenz punktweise Konvergenz impliziert).

Damit hätte ich gezeigt, dass die Abbildung

T

eine temp. Distribution, falls es stimmt, was ich gemacht habe.

(iii)

T_{2} [ϕ] := \int_{- \infty}^{\infty} e^{t^{2}} ϕ (t) d t

Die Linearität von

T_{2}

ist trivial. Ich soll entscheiden, ob

T_{2}

eine Distribution bzw. temperierte Distribution definiert. Ist

T

stetig? (Zuerst prüfe ich, ob

T

eine temp. Distr. ist.)

lim T [ϕ_{k}] = lim \int_{- \infty}^{\infty} e^{t^{2}} ϕ_{k} (t)

Der Limes kann ins Integral, wenn ich den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden kann. Kannstu du mir dafür einen Hinweis gegeben, wie ich starten soll?

Beste Grüße
Hazard

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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