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Prüfen Sie auf Irreduzibilität in Z[X] und Q[X]..

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: irreduzibel, Komplexe Zahlen, polynom, Prüfen, Rationale Zahlen, Zeigen Sie

S-amalgh

14:00 Uhr, 05.12.2020

Prüfen Sie auf Irreduzibilität in

Z [X]

und

Q [X]

.
(i)

3 X^{4} + 6 X^{2}

−

12 X + 10

(ii)

3 X^{2}

−

5 X + 17

(iii)

8 X^{3}

−

4 X^{2} + 2 X

− 1
(iv)

2 X^{4} + 200 X^{3} + 2000 X^{2} + 20000 X + 20

Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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14:02 Uhr, 05.12.2020

Wir hatten doch schon ähnliche Aufgaben. Wo hast du jetzt Schwierigkeiten?

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14:05 Uhr, 05.12.2020

Aber hier geht es in i) und iv) einfacher, denn du kannst hier dieses Kriterium nutzen:
de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium
In iv) musst du dazu zuerst durch

2

teilen.
Und in i)

Y = 1 / X

einführen und das Polynom bzgl.

Y

umschreiben.

ermanus aktiv_icon

14:29 Uhr, 05.12.2020

Hallo,
hier ein Tipp zu (iii):

(2 X)^{3} - (2 X)^{2} + (2 X) - 1

Gruß ermanus

S-amalgh

20:52 Uhr, 05.12.2020

die

(i)

bietet sich das Kriterium von Eisenstein an. Das Polynom

P (X) = 3 X^{4} + 6 X^{2} - 12 X + 10

ist irreduzibel in

Q [X],

weil 2 jeweils die

6,12

und

10

teilt und zudem prim ist. Außerdem teilt

2^{2} = 4

die

10

nicht. Folglich ist

P (X)

laut Eisenstein nicht reduzibel

Wie kann ich prüfen dass das Polynom in

Z [X]

irreduzibel ist?

S-amalgh

20:58 Uhr, 05.12.2020

(iv)

2 X^{4} + 200 X^{3} + 2000 X^{2} + 20000 X + 20 = X^{4} + 100 X^{3} + 1000 X^{2} + 10000 X + 10

die (iv) bietet sich das Kriterium von Eisenstein an. Das Polynom

P (X) = X^{4} + 100 X^{3} + 1000 X^{2} + 10000 X + 10

ist irreduzibel in

Q [X],

weil 2 jeweils die

10000,1000,100

und

10

teilt und zudem prim ist. Außerdem teilt

2^{2} = 4

die

10

nicht. Folglich ist

P (X)

laut Eisenstein nicht reduzibel

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21:06 Uhr, 05.12.2020

"Wie kann ich prüfen dass das Polynom in Z[X] irreduzibel ist?"

Wenn es in

ℚ [X]

irreduzibel ist, dann natürlich auch in

ℤ [X]

.
Das soll dir klar sein.

S-amalgh

21:12 Uhr, 05.12.2020

und wieso? weil

3 X^{4} + 6 X^{2}

−

12 X + 10 = 3 (x^{4} + 2 x^{2} - 6 x) + 10

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21:17 Uhr, 05.12.2020

Was willst du damit sagen?

Meine Aussage ist allgemein und ist auch trivial. Sie ist äquivalent dazu: wenn ein Polynom in ein Produkt aus ganzahlligen Polynomen faktorisiert werden kann, dann kann es auch in ein Produkt aus rationalen Polynomen faktorisiert werden. Einfach weil ganze Zahlen auch rationale Zahlen sind und damit