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Prüfen auf Integrierbarkeit

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Funktionen

Integration

Tags: Funktion, Integration

barracuda317 aktiv_icon

19:58 Uhr, 20.08.2012

Welche der folgenden Funktionen sind auf dem Intervall

[0, 1]

integrierbar? Begründen Sie ihre Antwort.

(a)

f_{1} (x) = e x p (- x^{2}),

(b)

f_{2} (x) = x, x \leq 1 / 2, f_{2} (x) = x^{2}, x > 1 / 2

(c)

f_{3} (x) = 0, x = 0, f_{3} (x) = 1 / x, x > 0

Ich gehe hier davon aus, dass Riemann-Integrierbarkeit gemeint ist (etwas anderes haben wir nicht durchgenommen)

Muss ich dies zwingend über eine Zerlegung mit Ober- und Untersumme zeigen? Ich habe das so noch nicht gemacht, und auch in den Übungen gab es leider keine Aufgabe dazu.

Gibt es ein paar Helferlein die mir die Arbeit erleichtern können?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Shipwater aktiv_icon

20:03 Uhr, 20.08.2012

Habt ihr nicht behandelt, dass Monotonie oder Stetigkeit für Riemann-Integrierbarkeit ausreichen?

barracuda317 aktiv_icon

15:35 Uhr, 23.08.2012

Den Satz habe ich nun durch deinen Hinweis tatsächlich im Skript gefunden.

für (a) folgt damit aus Stetigkeit und Monotonie die Integrierbarkeit

Wie geht man für die (b) dann vor?

Der Satz ist ja nur eine Implikation und keine Äquivalenz. Da unsere Funktion nicht stetig ist, kann ich darüber also keine Aussage treffen. Jedoch habe ich auch keine Aussage gefunden, nachdem eine Funktion die nicht stetig ist, nicht integrierbar ist.

Ich ich da dann doch mit diesen merkwürdigen Zerlegungen arbeiten?

pwmeyer aktiv_icon

17:18 Uhr, 23.08.2012

Hallo,

jetzt musst Du einen Satz suchen über die Integrierbarkeit einer stückweise stetigen Funktion mit (höchstens) Sprüngen an endlich vielen Stellen. Oder auch in der Variante: Ist

f

auf

[a, b]

und auf

[b, c]

integrierbar dann auch auf

[a, c]

. Details hängen von Eurer Herleitung ab.

Bei der letzten Frage musst Du wissen, ob eventuell nach einem uneigentlichen Integral gefragt ist oder nur nach der Riemann-Integrierbarkeit.

Gruß pwm

barracuda317 aktiv_icon

17:36 Uhr, 23.08.2012

Was mache ich wenn es einen solchen Satz nicht gibt? Konnte leider nichts finden.

hagman aktiv_icon

19:26 Uhr, 23.08.2012

Dann beweist man ihn eben ruck-zuck.
Allerdings ist bei

(b)

ein Fehler in der Aufgabenstellung: Ich nehme an, es soll

f_{2} (x) = x, x \leq \frac{1}{2}

heißen.

Lemma: Sei

a < b < c

und

f : [a, c] \to ℝ

eine Funktion, für die

\int_{a}^{b} f (x) d x

und

\int_{b}^{c} f (x) d x

existieren. Dann existiert

\int_{a}^{c} f (x) d x

und es gilt

\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x)

.
Beweis:
Zu jedem

ε > 0

finden wir eine Zerlegung

a = x_{0} < x_{1} < . .

< x_{n} = b

von

[a, b],

so dass die zug. Obersumme

< \int_{a}^{b} f (x) d x + \frac{ε}{2}

ist. Ebenso eine Zerlegung

b = x'_{0} < ... < x'_{m} = c

von

[b, c],

so dass die zug. Obersumme

< \int_{b}^{c} f (x) d x + \frac{ε}{2}

ist.
Demnach ist die zur Zerlegung

a = x_{0} < x_{1} . .

< x_{n} < x'_{1} < . .

< x'_{m} = c

von

[a, c]

gehörige Obersumme kleiner als

\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x + ε

.
Da

ε > 0

beliebig war, ist das Infimum der Obersummen über alle Zerlegungen von

[a, c]

demnach

\leq \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x

.
Ebenso zeigt man, dass das Supremum über alle Untersummen

\geq \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x

ist.
Es folgt Gleichheit und damit die Behauptung.

Eine andere Beweisidee für das Lemma wäre (vorausgesetzt, ihr haabt die Linearität des Integrals schon gezeigt): Definiere

f_{1} (x) = x

für

a \leq x \leq b

und

f_{1} (x) = 0

für

b < x \leq c

.
Ebenso definiere

f_{2} (x) = x

für

b < x \leq c

und

f_{2} (x) = 0

für

a \leq x \leq b

. Dann sieht man leicht

\int_{a}^{c} f_{1} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x

und

\int_{a}^{c} f_{2} (x) d x = \int_{b}^{c} f (x) d x

(man beachte, dass es keine Rolle spielt, ob man

b

zum ersten oder zweiten Teilintervall schlägt).
Dmenach ist

\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{c} (f_{1} (x) + f_{2} (x)) d x = \int_{a}^{c} f_{1} (x) d x + \int_{a}^{c} f_{2} (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x

.

Nochmal zurück zur

(a) :

Es genügt Stetigkeit für sich alleine; dass ihr die Integrierbarkeit stetiger Funktionen gezeigt habt, nehme ich mal stark an. Es würde auch Monotonie als Argument genügen, aber wenn ihr noch nicht einmal etwas zu stückweise integrierbaren Funktionen hattet

. .

yoglep aktiv_icon

10:56 Uhr, 25.08.2012

Reicht es nicht einfach die Funktionen auf Stetigkeit zu unsuchen wie gewohnt und dann einfach aus "stetig->(Riemann)integrierbar" zu folgern?

EDIT: Ups, habe den letzten Abschnitt nicht gelesen, hat sich somit geklärt:-P)

barracuda317 aktiv_icon

11:20 Uhr, 25.08.2012

Auf dem kompletten Definitionsbereich ist unsere Funktion ja nicht stetig. Also war dieser Satz wohl unabdingbar. Kann ich die Bemühungen um den Satz so verstehen, dass es sich lohnt diesen Satz zu beweisen, um auf diesen Nachweis mit Ober- und Untersumme zu verzichten? Einen Beweis dazu im Skript fand ich ziemlich unübersichtlich und hat nur einen Spezialfall abgedeckt, meiner Meinung nach.

yoglep aktiv_icon

11:34 Uhr, 25.08.2012

Welche der ersten beiden Funktionen sollten denn wo deiner Ansicht nach nicht stetig sein?

barracuda317 aktiv_icon

11:43 Uhr, 25.08.2012

f_{2}

ist im Punkt

\frac{1}{2}

nicht stetig.

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