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Prüfen auf linearen Unabhängigkeit

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Linear, Unabhängigkeit, Vektor

 
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Raluca

Raluca aktiv_icon

21:38 Uhr, 24.11.2022

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Hallo zusammen,

ich muss folgende Aufgabe lösen.
(Bild im Anhang)

Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass Vektoren linear unabhängig sind wenn Λ1=Λ2=...Λk=0.

Nun gut. So hab ich mich an die Aufgabe ran gemacht und leider komm ich bei der reduzierten Zeilenstufenform nicht weiter :(

Bei der Aufgabe a) schaffe ich es nicht den Pivot-Element in der 2. Zeile auf 1 zu bringen und bei der b) passiert mit im Endeffekt das gleiche.

Bei b) habe ich versucht die Aufgabe zu lösen indem ich II-Gleichung + 5*I-Gleichung.
Somit habe ich die erste Zahl in Matrix bei 0 und mein Pivot -Element ist aber das 27....


Kann mir vielleicht jemanden helfen?!?!!?!


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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

22:05 Uhr, 24.11.2022

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Hallo,

solange du deine Rechnung hier nicht zeigst, ist es schwierig, dir zu sagen, wie du weitermachen sollst.

Ich ahne allerdings, woran es zu scheitern droht.
Man "sieht" doch schon, dass bei a) die Differenz u1-u2 gleich u3 gilt, sofern α=-13.

D.h. genau für diesen Fall sind die Vektoren gerade nicht linear unabhängig, für alle anderen schon.

Bei b) könntet ihr vielleicht irgend ein Ergebnis haben, das besagt, dass mehr Vektoren als der Vektorraum als Dimension hat, stets linear abhängig sind?
Das hat mit der Definition der Dimension eines Vektorraums zu tun. Die ist nämlich gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Vektorraum. Und die ist bei 2 eben 2.

Mfg Michael
Antwort
Mathe45

Mathe45

09:34 Uhr, 25.11.2022

Antworten
Kontrolle mit " Wolfram ".

linear abhängig
Determinante
Antwort
calc007

calc007

13:14 Uhr, 25.11.2022

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zu a)
noch leichter zu sehen:
die unterste Zeile ist (-2) von der obersten Zeile.
D.h. das LGS ist stets linear abhängig, unabhängig von α.

Antwort
Roman-22

Roman-22

15:36 Uhr, 25.11.2022

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>D.h. genau für diesen Fall sind die Vektoren gerade nicht linear unabhängig,
Ja
> für alle anderen schon.
Nein, der Schluss ist leider nicht zulässig.
Beispielweise könnte man auch sehen, dass 4v1=v3 ist, wenn α=-20.
Daraus darf man auch nur schließen, dass für α=-20 lineare Abhängigkeit vorliegt, aber nicht, dass das der einzige Fall dafür wäre.

Man kann die Aufgabe ganz pragmatisch angehen und die aus den Spaltenvektoren gebildete Determinate (oder deren Transponierte so wie Mathe45) berechnen und erkennen, dass sie unabhängig von α immer Null ist, oder man hat den scharfen Blick von calc007 (mit der Lizenz zum Rechnen ?) und erspart sich so die Rechnung.
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