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Prüfen, ob Banachraum vorliegt

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Sonstiges

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Sonstig

Isaaabellll aktiv_icon

16:31 Uhr, 21.10.2019

Hallo,

es sei

U

der Vektorraum aller Polynome in

R

mit Definitionsbereich

[0,1]

. Auf

U

setze die Abbildung

{| | . | |}_{1} : U \to [0, \infty), {| | p | |}_{1} := \sum_{k = 1}^{n} | a_{k} |,

wobei

p (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}

. Prüfe, ob

(W, {| | . | |}_{1})

ein Banachraum ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

16:37 Uhr, 21.10.2019

Hallo,

muss die Summe, mit der du die Norm definierst, nicht mit

k = 0

beginnen?

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

16:49 Uhr, 21.10.2019

Betrachte die Folge der Polynome

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} 2^{- k} x^{k}

.
Ist das eine Cauchyfolge? Wenn ja, konvergiert diese gegen ein Polynom?

Gruß ermanus

Isaaabellll aktiv_icon

17:29 Uhr, 21.10.2019

Ja es liegt eine Cauchyfoleg vor, weiß leider nur nicht wie ich das formal zeigen kann und weiter konvergiert diese reihe aber nicht gegen ein Polynom

ermanus aktiv_icon

17:34 Uhr, 21.10.2019

Du brauchst doch nur

∥ p_{n + r} - p_{n} ∥

abzuschätzen.
Woher weißt du, dass die Grenzfunktion kein Polynom ist?

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