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Prüfen ob Ordnungsrelation

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Relationen

Tags: Ordnungsrelation, Relation.

 
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scbyy

scbyy

12:23 Uhr, 27.10.2012

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Hallo!

Erstmal die Angabe:

Gegeben sei eine geordnete Menge M mit der Ordnungsrelation ≤. Auf MxM sei die folgende Relation erklärt
(x1,x2)⊑(y1,y2) :⇔x1≤y1∧x2≤y2
Handelt es sich um eine Ordnungsrelation auf dem Produkt MxM. Wird MxM damit sogar zu einer geordneten Menge?

Also, damit eine Relation eine Ordnungsrelation ist, muss sie ja reflexiv, antisymm., und transitiv sein:

reflexiv:
(x1,x2)R(x1,x2)=x1≤x1∧x2≤x2
→ ist somit also reflexiv

antisymm.:
(x1,y1)R(y1,x1)=x1≤y1∧y1≤x1
→ daraus folgt x1=y1, somit antisymm.

transitiv:
(x1,x2)R(y1,y2)∧(y1,y2)R(z1,z2)=
(x1≤y1)∧(x2≤y2)∧(y1≤z1)∧(y2≤z2)=
(x1≤y1≤z1)∧(x2≤y2≤z2)=
(x1≤z1)∧(x2≤z2)=

→ daraus folgt (x1,x2)R(z1,z2), somit auch transitiv

Also ist es schonmal eine Ordnungsrelation?? Liege ich damit noch richtig?


Zu der Frage ob MxM sogar zu einer geordneten Menge wird:
Hier weiß ich überhaupt nicht weiter..

Muss man das da mit (x1,x2)R(y1,y2) aus der Angabe machen?

also so:
(x1,x2)R(y1,y2)∨(y1,y2)R(x1,x2)
(x1≤y1∧x2≤y2)∨(y1≤x1∧y2≤x2)

Oder wie in der Definition der geordneten Menge mit

xRy∨yRx

??

Helft mir bitte weier..

LG scbyy


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Underfaker

Underfaker aktiv_icon

12:35 Uhr, 27.10.2012

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Was eine geordnete Menge ist weiß ich nciht aber, antisymmetrisch bedeutet: aRb ∧ bRa ⇒a=b, du hast jedoch nur ein mögliches Element in die Definition eingesetzt.

Zu zeigen wäre:
(x1,x2)≤(y1,y2)∧(y1,y2)≤(x1,x2)⇒(x1,x2)=(y1,y2)

Zu reflexiv würde ich schreiben:
Da x1=x1∧x2=x2 ist sicher auch x1≤x1∧x2≤x2⇒(x1,x2)≤(x1,x2)

Zu transitiv: in der definition wird " ⇔ " benutzt, du solltest dir überlegen ob " = " hier angebracht ist aber von der Herleitung ok.
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