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Prüfen, ob Polynom eine Basis ist?

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: basis, polynom, Vektor

anonymous

14:06 Uhr, 21.11.2009

Hallo,

wir haben die Aufgabe bekommen, zu prüfen, ob

u . a

. das Polynom

p = (x - 2) \cdot (x - 3)

eine Basis von

ℝ [x] \leq 2

bildet.
(das

\leq 2

sollte ein Index sein)
Was muss ich denn da prüfen?

gruß, schorch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
Parallelverschiebung
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

hagman aktiv_icon

14:26 Uhr, 21.11.2009

Ich vermute, die Aufgabenstellung lautet anders.

ℝ {[x]}_{\leq 2}

ist ein dreidiemnsionaler Raum und erfordert daher eine Basis, die aus drei Vektoren besteht.

anonymous

14:28 Uhr, 21.11.2009

Oh stimmt... hab mich total verlesen. Sorry!
also nochmal:

p 1 = (x - 2) \cdot (x - 3)

p 2 = (x - 1) \cdot (x - 3)

p 3 = (x - 1) \cdot (x - 2)

Man soll prüfen, ob diese Polynome eine Basis von

ℝ [x] \leq 2

bilden

hagman aktiv_icon

14:37 Uhr, 21.11.2009

ℝ {[x]}_{\leq 2}

dreidiomensional ist, genügt es, lineare Unabhängigkeit zu zeigen.
Betrachte

p := a \cdot p_{1} + b \cdot p_{2} + c \cdot p_{3}

mit

a, b, c \in ℝ

und nimm an, dass

p = 0

ist.
Was ist

p (1)

p (2)

p (3)

? Was folgt daher für

a, b, c

anonymous

16:54 Uhr, 21.11.2009

Hallo hagmann,
danke für deine Antwort. Ich habs jetzt geschafft zu zeigen, dass

p 1, p 2

und

p 3

linear unabhängig sind. Aber wieso reicht das in diesem Fall schon?

gruß, schorch

michaL aktiv_icon

18:09 Uhr, 22.11.2009

Hallo,

hm, du musst dein Verständnis der Begriffe Basis und Dimension irgendwie ausbauen! Dimension eines Vektorraums ist gerade die Anzahl der Elemente, die jede Basis haben muss. Dreidimensionaler Vektorraum bedeutet also, dass jede Basis drei Elemente (keins mehr, keins weniger) haben muss. Hat eine "Basis" weniger Elemente, so ist sie kein Erzeugendensystem, hat sie mehr, ist sie nicht linear unabhängig.

Du hast mit der dem Nachweis der linearen Unabhängigkeit bewiesen, dass der Vektorraum der Polynome vom Grad

\leq

2 mindestens die Dimension 3 hat.
Jetzt kommt es auf die genaue Aufgabenstellung an. Wenn ihr verwenden dürft, dass dieser Vektorraum die Dimension 3 hat, dann bist du also fertig, weil du eine Basis mit drei Elementen gefunden hast.
Wenn nicht, musst du verwenden, dass

{1; x; x^{2}}

ein Erzeugendensystem ist und versuchen, mit deiner "Möchtegernbasis" diese Elemente darzustellen (geht einfach). Damit ist deine "Möchtegernbasis" (sorry für den Ausdruck, hoffe, du weißt, worum es geht) ein Erzeugendensystem. Erzeugendensystem UND linear unabhängig, das zusammen heißt Basis.

Mfg MIchael

anonymous

19:23 Uhr, 22.11.2009

Hi Michael,
danke für die ausführliche Erklärung!
Nur verstehe ich nicht, wie ich diese Möchtegernbasis (schönes Wort übrigens^^) aufbauen könnte?

Danke nochmal.

schorch

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