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Prüfen,ob B eine Basis von Pol3R ist

Universität / Fachhochschule

Polynome

Matrizenrechnung

Tags: basis, polynom

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14:47 Uhr, 30.05.2018

Kann mir bitte jemand helfen, weil ich nicht weiß, was ich machen soll?

Es sei Pol_

{

3}\mathbb{R} Vektorräum aller reellen Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3.

Prüfen Sie, ob

B : 1, X, 1 + X^{2} - 2 X^{3}, 1 - 2 X + X^{3}

eine Basis von Pol_3R

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DerDepp aktiv_icon

15:19 Uhr, 30.05.2018

Hossa ;-)

Alle Polynome von Grad 3 haben 4 Koeffizienten:

a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

. Diese 4 Koeffizienten kannst du als Vektor schreiben

(a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0})

. Du sollst prüfen, ob die 4 Vektoren

(0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (- 2, 1, 0, 1), (1, 0, - 2, 1)

ausreichen, um alle möglichen Koeffizienten-Vektoren

(a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0})

als Linearkombination von diesen Basisvektoren schreiben zu können. Da du einen 4-dimensionalen Vektorraum hast, brauchst du genau 4 Basisvektoren. Die hast du. Damit diese 4 Basisvektoren aber auch einen 4-dimensionalen Vektorraum aufspannen, müssen sie linear unabhängig voneinander sein. Das kannst du prüfen, indem du die Basisvektoren als Zeilenvektoren(!) in eine Matrix schreibst und diese Matrix dann mittels Gauß-Operationen in eine Dreiecksform bringst. Wenn dabei Zeilen rauskommen, die nur Nullen enthalten, sind die Vektoren voneinander abhängig, sonst nicht.

(\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 2 & 1 \end{array})

Im ersten Schritt subtrahierst du Zeile 1 von Zeile 3 und 4:

(\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 2 & 0 \end{array})

Dann addierst du das Doppelte von Zeile 2 zu Zeile 4:

(\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array})

Schließlich addierst du das Doppelte von Zeile 4 zu Zeile 3:

(\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array})

Das ist nicht nur eine Dreiecksform, sondern sogar die Diagonalform. Es gibt keine Zeile, die nur Nullen enthält. Also sind deine 4 Vektoren von oben linear unabhängig. Das heißt, die 4 angegebenen Polynome reichen tatsächlich aus, um alle Polynome dritten Grades zu erzeugen, sie sind eine Basis.

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17:13 Uhr, 30.05.2018

Vielen Vielen Dank Dir!!
Hast es wirklich super verständlich gemacht und mir ist jetzt einiges klarer geworden.

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