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Prüfung auf Gruppe, Unterring und Unterkörper

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Tags: Gruppen, Körper, Ring

 
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eisbecher

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02:50 Uhr, 08.02.2018

Antworten


M1={a+63+363|a,b,c}

M2={a+32+32|a,b,c}


a) Ist M1 eine Gruppe?
1.Abgeschlossen.
+ und formen eine Gruppe und sind ist Untergruppen von , ist gegeben
2.Assoziativ
a(bc)=(ab)c, ist gegeben
3.Neutrales Element
ae=a
a+63+3631=a+63+363
1, Jist gegeben
4.Inverses Element
aa-1=a
a+63+3631a+63+363=1 ist gegeben
5.Kommutativ
ab=ba
Folgt aus ist gegeben

b) Ist M2 eine Gruppe? ( Fast das Selbe)
1.Abgeschlossen.
+ und formen eine Gruppe und sind ist Untergruppen von , ist gegeben
2.Assoziativ
a(bc)=(ab)c, ist gegeben
3.Neutrales Element
ae=a
a+32+321=a+a+32+32
1, ist gegeben
4.Inverses Element
aa-1=a
a+32+321a+32+32=1 ist gegeben
5.Kommutativ
ab=ba
Folgt aus ist gegeben


c) Ist M1,+, ein Unterring von ?

M1+ ist abelsch
M1 ist eine Teilgruppe
Distributionsgesetz gilt in M1

Da ein Körper ist und M1 eine Untergrippe von C ist, ist m1 ein Unterring von

d) Ist M1,+, ein Unterkörper von

Wenn ein Körper ist und M1 dann ist M1 ein Unterkörper von

d) Ist M2,+, ein Unterkörper von

Wenn ein Körper ist und M2 dann ist M2 ein Unterkörper von



Könnte da mal wer drüber gucken und mir mitteilen was da nicht passt?

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ermanus

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08:32 Uhr, 08.02.2018

Antworten
Hallo,

schon deine Aufgabenstellung ist falsch :(
Vermutlich soll es doch heißen
M1={a+b63+c363a,b,c}, entsprechend für M2.
Ferner soll vermutlich (M1\{0},) auf Gruppeneigenschaften geprüft werden;
denn dass 0 kein mult. Inverses besitzt, ist ja klar. Sei also M1:=M1\{0}.

1. Abgeschlossenheit.
Du musst zeigen, dass das Produkt zweier Elemente aus M1 wieder die
Gestalt der Elemente aus M1 besitzt. Das bedeutet,
dass du eine Rechnung präsentieren musst.

2.+3. Assoziativität und neutrales Element sind klar.

4. Hat 63-1 die Form a+b63+c363
mit geeigneten a,b,c ?

Hier höre ich erst einmal auf ...

Gruß ermanus



eisbecher

eisbecher aktiv_icon

21:22 Uhr, 08.02.2018

Antworten
Danke du hast mir ein bisschen auf die Sprünge geholfen.

Eine fast identische Aufgabe mit 2 Variablen pro Element konnte ich mit einem Widerspruchbeweis lösen aber wie beweise ich Abgeschlossenheit mit 3 Variablen a,b,c ∈ ℤ ? Genauso geht es mir mit der multiplikativen inversen bei 3 Variablen hab ich echt keine Ahnung (meine Lösung oben ist ja falsch), wie ich auf eine Lösung kommen soll.

Danke
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

21:37 Uhr, 08.02.2018

Antworten
Nun, M1 ist bzgl. Multiplikation abgeschlossen.
Du musst halt das Produkt zweier typischer Elemente bilden:
(a1+b163+c1363)(a2+b263+c2363)=
a1a2+a1b263+a1c2363+b1a263+b1b2363+6b1c2+

Das sortierst du dann schön nach 1,63,363-Termen
und schaust nach, ob das die Gestalt a+b63+c363
mit ganzen Zahlen a,b,c ergibt, wenn a1,b1,c1,a2,b2,c2 ganze Zahlen sind.


Antwort
ermanus

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23:47 Uhr, 08.02.2018

Antworten
Inverse:
Das Element 63M1 hat kein Inverses in M1.
Angenommen es wäre invertierbar, dann gäbe es ganze a,b,c mit
63(a+b63+c363)=1.
Wenn man das ausmultipliziert, bekommt man:
6c+a63+b363=1. Kann c dann ganz sein ?

eisbecher

eisbecher aktiv_icon

06:32 Uhr, 10.02.2018

Antworten
Danke für die Antwort! Abgeschlossenheit habe ich nun bewiesen.

So wie ich das bei der Inversen verstanden hab kann c nicht ganz sein, weil es eine reelle Zahl sein müsste. Ist das korrekt?

Danke
Antwort
ermanus

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08:43 Uhr, 10.02.2018

Antworten
Meinst du damit, dass aus der letzten Gleichung 6c=1 folgen müsste,
also c=1/6, also c nicht ganz? Nebenbei: ganze Zahlen sind doch reelle Zahlen ?!?
Frage: Kennst du den Begriff der linearen Unabhängigkeit?
eisbecher

eisbecher aktiv_icon

18:08 Uhr, 11.02.2018

Antworten
16 ist keine ganze sondern rationale Zahl.

Bei der Inversen komm ich einfach nicht weiter, egal wie ich die Gleichung drehe.
Der Nenner muss "Wurzelfrei" sein.
Antwort
ermanus

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18:15 Uhr, 11.02.2018

Antworten
Ja, das ist doch auch prima; denn wenn c nicht ganz ist, dann ist doch damit gezeigt, dass
63 kein Inverses in M1 besitzt. Das wollen wir doch gerade zeigen !!!
Also ist M1 nur ein Unterring von , aber kein Unterkörper.

Zu M2: Deine Definition in der Aufgabenstellung kann ja wohl so
nicht richtig sein! Schau doch noch mal genau nach!

eisbecher

eisbecher aktiv_icon

18:24 Uhr, 11.02.2018

Antworten
M2={a+b32+c32|a,b,c ⊆ ℤ} ⊆ ℂ

Genau das ist die Menge.
Antwort
ermanus

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18:30 Uhr, 11.02.2018

Antworten
Ja, das ist schon besser als in deiner Aufgabenstellung, wo kein b und c
vor den Wurzeln stand. Es wundert mich aber dennoch, da b3+c3=(b+c)3
ist und daher b oder c alleine schon ausgereicht hätten, also etwa
M2={a+b3a,b}.
Entweder wollte der Autor der Aufgabe dich ein bisschen verwirren oder die Aufgabe
heißt doch ein klein bisschen anders ;-)


eisbecher

eisbecher aktiv_icon

18:45 Uhr, 13.02.2018

Antworten
Abgeschlossheit

(a1+(b1+c1)3)(a2+(b2+c2)3)=a1a2+(b1b2)3+(b1c2)3+(c1b2)3+(c1c2)3+(a1b2+a1c2+b1a2+c1a2)3

ist hiermit bewiesen.

Neutrales Element 1 ist teil von M2

Assoziativität ist gegeben, durch Multiplikation und Addition in

Inverse

a+(b+c)3a-(b+c)3a2-3(b+c)2=1

Soweit richtig?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

19:51 Uhr, 13.02.2018

Antworten
Hallo,

zu deinen Ausführungen bzgl. Inversen:

1. Es fehlen Klammern um den Faktor vor dem Bruch, schließlich geht immer noch
Punkt- vor Strichrechnung wie in der Schule.

2. Du hast zwar gezeigt, dass jedes Element 0 aus M2 in
ein Inverses besitzt. Aber das ist ja gar kein Wunder!
Jedes Element 0 aus ist invertierbar; denn
ist ein Körper.
Das ist aber doch gar nicht gefragt. Ich habe dir das doch schon bei M1
gesagt, dass das Inverse eines Nichtnull-Elements aus der Menge wieder in der Menge
liegen muss. Das ist doch das Besondere: Abgeschlossenheit von M2 bzgl.
Inversenbildung.
Nun ist 7=7+03M2. Liegt denn auch das Inverse 17 in M2 ?

eisbecher

eisbecher aktiv_icon

03:57 Uhr, 14.02.2018

Antworten
Ich verstehe das nicht. aa-1=1, wobei hier a-1 das Invese ist.

Also ich suche ich (a+(b+c)32)x=1, wobei xM2

Das Element 32 hat kein Inverses in M2 jedoch kann man versuchen es anders zu finden.

x(a+b32)=1
32(a+b32)=1
a323b=1

b=13 und somit nicht teil von M2 (weil nicht in ), deswegen existiert keine Inverse.

Ist das korrekt?

Danke!
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:43 Uhr, 14.02.2018

Antworten
Was du in deinem letzten Post gemacht hast, ist zwar OK.
Dennoch habe ich den Eindruck, dass bei dir der Groschen noch nicht so richtig
gefallen ist.
Bei M1 habe ich willkürlich ein Element herausgesucht, das für mich im Verdacht
stand nicht invertierbar in M1 zu sein. Im Beispiel M2 habe ich dir mit meinem
Element 7 einen Wink geben wollen, dass es viel einfachere in M2
nicht invertierbare Element gibt: 7M2, aber 7-1M2. Mit so
einem Beispiel spart man doch schon mal viel Rechnerei. Natürlich passt das Beispiel
auch für die Menge M1. Leider hast du den Tipp wohl nicht verstanden.
Es gilt M1 und ebenso M2.
Wenn jedes Element 0 aus M1 oder M2 invertierbar wäre,
dann wäre doch auch erst recht jedes Element 0 von in
Mi invertierbar, d.h. es müsste M1 und M2
gelten, was doch offenbar Blödsinn ist !
Auf diesen allgemeinen Sachverhalt wollte ich hinaus ...
Also stur Rezepte benutzen und ellenlang rechnen ist nicht immer das Gelbe vom Ei ;-)

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