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Prüfung auf Gruppe, Unterring und Unterkörper

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Körper

Ringe

Tags: Gruppen, Körper, Ring

eisbecher aktiv_icon

02:50 Uhr, 08.02.2018

M 1 = {a + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{36} | a, b, c ℤ} \subseteq ℂ

M 2 = {a + \sqrt[2]{3} + \sqrt[2]{3} | a, b, c ℤ} \subseteq ℂ

a)

Ist

M 1 \cdot

eine Gruppe?
1.Abgeschlossen.

ℤ +

und

ℝ \cdot

formen eine Gruppe und sind ist Untergruppen von

ℂ,

ist gegeben
2.Assoziativ

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c,

ist gegeben
3.Neutrales Element

a \cdot e = a

a + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{36} \cdot 1 = a + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{36}

1 \subseteq ℂ,

Jist gegeben
4.Inverses Element

a \cdot a^{- 1} = a

a + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{36} \cdot \frac{1}{a + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{36}} = 1

ist gegeben
5.Kommutativ

a \cdot b = b \cdot a

Folgt aus

ℂ

ist gegeben

b)

Ist

M 2 \cdot

eine Gruppe? ( Fast das Selbe)
1.Abgeschlossen.

ℤ +

und

ℝ \cdot

formen eine Gruppe und sind ist Untergruppen von

ℂ,

ist gegeben
2.Assoziativ

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c,

ist gegeben
3.Neutrales Element

a \cdot e = a

a + \sqrt[2]{3} + \sqrt[2]{3} \cdot 1 = a + a + \sqrt[2]{3} + \sqrt[2]{3}

1 \subseteq ℂ,

ist gegeben
4.Inverses Element

a \cdot a^{- 1} = a

a + \sqrt[2]{3} + \sqrt[2]{3} \cdot \frac{1}{a + \sqrt[2]{3} + \sqrt[2]{3}} = 1

ist gegeben
5.Kommutativ

a \cdot b = b \cdot a

Folgt aus

ℂ

ist gegeben

c)

Ist

M 1, +, \cdot

ein Unterring von

ℂ

M 1 +

ist abelsch

M 1 \cdot

ist eine Teilgruppe
Distributionsgesetz gilt in

M 1

ℂ

ein Körper ist und

M 1

eine Untergrippe von

C

ist, ist

m 1

ein Unterring von

ℂ

d)

Ist

M 1, +, \cdot

ein Unterkörper von

ℂ

Wenn

ℂ

ein Körper ist und

M 1 \subseteq ℂ

dann ist

M 1

ein Unterkörper von

ℂ

d)

Ist

M 2, +, \cdot

ein Unterkörper von

ℂ

Wenn

ℂ

ein Körper ist und

M 2 \subseteq ℂ

dann ist

M 2

ein Unterkörper von

ℂ

Könnte da mal wer drüber gucken und mir mitteilen was da nicht passt?

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ermanus aktiv_icon

08:32 Uhr, 08.02.2018

Hallo,

schon deine Aufgabenstellung ist falsch :(
Vermutlich soll es doch heißen

M_{1} = {a + b \sqrt[3]{6} + c \sqrt[3]{36} ∣ a, b, c \in ℤ}

, entsprechend für

M_{2}

.
Ferner soll vermutlich

(M_{1} \ {0}, \cdot)

auf Gruppeneigenschaften geprüft werden;
denn dass

0

kein mult. Inverses besitzt, ist ja klar. Sei also

M_{1} \cdot := M_{1} \ {0}

.

1. Abgeschlossenheit.
Du musst zeigen, dass das Produkt zweier Elemente aus

M_{1} \cdot

wieder die
Gestalt der Elemente aus

M_{1} \cdot

besitzt. Das bedeutet,
dass du eine Rechnung präsentieren musst.

2.+3. Assoziativität und neutrales Element sind klar.

4. Hat

{\sqrt[3]{6}}^{- 1}

die Form

a + b \sqrt[3]{6} + c \sqrt[3]{36}

mit geeigneten

a, b, c \in ℤ

?

Hier höre ich erst einmal auf ...

Gruß ermanus

eisbecher aktiv_icon

21:22 Uhr, 08.02.2018

Danke du hast mir ein bisschen auf die Sprünge geholfen.

Eine fast identische Aufgabe mit 2 Variablen pro Element konnte ich mit einem Widerspruchbeweis lösen aber wie beweise ich Abgeschlossenheit mit 3 Variablen

a, b, c

∈ ℤ ? Genauso geht es mir mit der multiplikativen inversen bei 3 Variablen hab ich echt keine Ahnung (meine Lösung oben ist ja falsch), wie ich auf eine Lösung kommen soll.

Danke

ermanus aktiv_icon

21:37 Uhr, 08.02.2018

Nun,

M_{1} \cdot

ist bzgl. Multiplikation abgeschlossen.
Du musst halt das Produkt zweier typischer Elemente bilden:

(a_{1} + b_{1} \sqrt[3]{6} + c_{1} \sqrt[3]{36}) (a_{2} + b_{2} \sqrt[3]{6} + c_{2} \sqrt[3]{36}) =

a_{1} a_{2} + a_{1} b_{2} \sqrt[3]{6} + a_{1} c_{2} \sqrt[3]{36} + b_{1} a_{2} \sqrt[3]{6} + b_{1} b_{2} \sqrt[3]{36} + 6 b_{1} c_{2} + \dots

Das sortierst du dann schön nach

1, \sqrt[3]{6}, \sqrt[3]{36}

-Termen
und schaust nach, ob das die Gestalt

a + b \sqrt[3]{6} + c \sqrt[3]{36}

mit ganzen Zahlen

a, b, c

ergibt, wenn

a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}

ganze Zahlen sind.

ermanus aktiv_icon

23:47 Uhr, 08.02.2018

Inverse:
Das Element

\sqrt[3]{6} \in M_{1} \cdot

hat kein Inverses in

M_{1} \cdot

.
Angenommen es wäre invertierbar, dann gäbe es ganze

a, b, c

mit

\sqrt[3]{6} \cdot (a + b \sqrt[3]{6} + c \sqrt[3]{36}) = 1

.
Wenn man das ausmultipliziert, bekommt man:

6 c + a \sqrt[3]{6} + b \sqrt[3]{36} = 1

. Kann

c

dann ganz sein ?

eisbecher aktiv_icon

06:32 Uhr, 10.02.2018

Danke für die Antwort! Abgeschlossenheit habe ich nun bewiesen.

So wie ich das bei der Inversen verstanden hab kann

c

nicht ganz sein, weil es eine reelle Zahl sein müsste. Ist das korrekt?

Danke

ermanus aktiv_icon

08:43 Uhr, 10.02.2018

Meinst du damit, dass aus der letzten Gleichung

6 c = 1

folgen müsste,
also

c = 1 / 6

, also

c

nicht ganz? Nebenbei: ganze Zahlen sind doch reelle Zahlen ?!?
Frage: Kennst du den Begriff der linearen Unabhängigkeit?

eisbecher aktiv_icon

18:08 Uhr, 11.02.2018

\frac{1}{6}

ist keine ganze

ℤ

sondern rationale

ℚ

Zahl.

Bei der Inversen komm ich einfach nicht weiter, egal wie ich die Gleichung drehe.
Der Nenner muss "Wurzelfrei" sein.

ermanus aktiv_icon

18:15 Uhr, 11.02.2018

Ja, das ist doch auch prima; denn wenn

c

nicht ganz ist, dann ist doch damit gezeigt, dass

\sqrt[3]{6}

kein Inverses in

M_{1}

besitzt. Das wollen wir doch gerade zeigen !!!
Also ist

M_{1}

nur ein Unterring von

ℂ

, aber kein Unterkörper.

Zu

M_{2}

: Deine Definition in der Aufgabenstellung kann ja wohl so
nicht richtig sein! Schau doch noch mal genau nach!

eisbecher aktiv_icon

18:24 Uhr, 11.02.2018

M 2 = {a + b \sqrt[2]{3} + c \sqrt[2]{3} | a, b, c

⊆ ℤ

}

⊆ ℂ

Genau das ist die Menge.

ermanus aktiv_icon

18:30 Uhr, 11.02.2018

Ja, das ist schon besser als in deiner Aufgabenstellung, wo kein

b

und

c

vor den Wurzeln stand. Es wundert mich aber dennoch, da

b \sqrt{3} + c \sqrt{3} = (b + c) \sqrt{3}

ist und daher

b

oder

c

alleine schon ausgereicht hätten, also etwa

M_{2} = {a + b \sqrt{3} ∣ a, b \in ℤ}

.
Entweder wollte der Autor der Aufgabe dich ein bisschen verwirren oder die Aufgabe
heißt doch ein klein bisschen anders ;-)

eisbecher aktiv_icon

18:45 Uhr, 13.02.2018

Abgeschlossheit

(a 1 + (b 1 + c 1) \sqrt{3}) \cdot (a 2 + (b 2 + c 2) \sqrt{3}) = a 1 a 2 + (b 1 b 2) 3 + (b 1 c 2) 3 + (c 1 b 2) 3 + (c 1 c 2) 3 + (a 1 b 2 + a 1 c 2 + b 1 a 2 + c 1 a 2) \sqrt{3}

ist hiermit bewiesen.

Neutrales Element 1 ist teil von

M 2

Assoziativität ist gegeben, durch Multiplikation und Addition in

ℂ

Inverse

a + (b + c) \sqrt{3} \cdot \frac{a - (b + c) \sqrt{3}}{a^{2} - 3 {(b + c)}^{2}} = 1

Soweit richtig?

ermanus aktiv_icon

19:51 Uhr, 13.02.2018

Hallo,

zu deinen Ausführungen bzgl. Inversen:

1. Es fehlen Klammern um den Faktor vor dem Bruch, schließlich geht immer noch
Punkt- vor Strichrechnung wie in der Schule.

2. Du hast zwar gezeigt, dass jedes Element

\neq 0

aus

M_{2}

ℂ

ein Inverses besitzt. Aber das ist ja gar kein Wunder!
Jedes Element

\neq 0

aus

ℂ

ist invertierbar; denn

ℂ

ist ein Körper.
Das ist aber doch gar nicht gefragt. Ich habe dir das doch schon bei

M_{1}

gesagt, dass das Inverse eines Nichtnull-Elements aus der Menge wieder in der Menge
liegen muss. Das ist doch das Besondere: Abgeschlossenheit von

M_{2}

bzgl.
Inversenbildung.
Nun ist

7 = 7 + 0 \cdot \sqrt{3} \in M_{2}

. Liegt denn auch das Inverse

\frac{1}{7}

M_{2}

eisbecher aktiv_icon

03:57 Uhr, 14.02.2018

Ich verstehe das nicht.

a \cdot a^{- 1} = 1,

wobei hier

a^{- 1}

das Invese ist.

Also ich suche ich

(a + (b + c) \sqrt[2]{3}) \cdot x = 1,

wobei

x \in M 2

Das Element

\sqrt[2]{3}

hat kein Inverses in

M 2 \cdot

jedoch kann man versuchen es anders zu finden.

x \cdot (a + b \sqrt[2]{3}) = 1

\sqrt[2]{3} \cdot (a + b \sqrt[2]{3}) = 1

a \sqrt[2]{3} \cdot 3 b = 1

b = \frac{1}{3}

und somit nicht teil von

M 2

(weil nicht in

ℤ),

deswegen existiert keine Inverse.

Ist das korrekt?

Danke!

ermanus aktiv_icon

13:43 Uhr, 14.02.2018

Was du in deinem letzten Post gemacht hast, ist zwar OK.
Dennoch habe ich den Eindruck, dass bei dir der Groschen noch nicht so richtig
gefallen ist.
Bei

M_{1}

habe ich willkürlich ein Element herausgesucht, das für mich im Verdacht
stand nicht invertierbar in

M_{1}

zu sein. Im Beispiel

M_{2}

habe ich dir mit meinem
Element

7

einen Wink geben wollen, dass es viel einfachere in

M_{2}

nicht invertierbare Element gibt:

7 \in M_{2}

, aber

7^{- 1} \notin M_{2}

. Mit so
einem Beispiel spart man doch schon mal viel Rechnerei. Natürlich passt das Beispiel
auch für die Menge

M_{1}

. Leider hast du den Tipp wohl nicht verstanden.
Es gilt

ℤ \subseteq M_{1}

und ebenso

ℤ \subseteq M_{2}

.
Wenn jedes Element

\neq 0

aus

M_{1}

oder

M_{2}

invertierbar wäre,
dann wäre doch auch erst recht jedes Element

\neq 0

von

ℤ

M_{i}

invertierbar, d.h. es müsste

ℚ \subseteq M_{1}

und

ℚ \subseteq M_{2}

gelten, was doch offenbar Blödsinn ist !
Auf diesen allgemeinen Sachverhalt wollte ich hinaus ...
Also stur Rezepte benutzen und ellenlang rechnen ist nicht immer das Gelbe vom Ei ;-)

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