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Prüfung linearer Unterraum

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Untervektorräume, Vektorraum

supaboy aktiv_icon

16:27 Uhr, 07.01.2015

Hallo,

ich bin derzeit in der Klausur-Vorbereitungsphase und muss mit Erschrecken feststellen, dass ich mit Vektorräumen und linearen Unterräumen rein gar nichts anfangen kann.
Im Netz habe ich dazu schon einiges recherchiert, kann es dennoch nicht auf meine Aufgaben wirklich übertragen. Selbst die Aufgaben aus dem Tutorium helfen mir da nicht weiter das Thema besser zu verstehen. Ich muss dazu sagen, dass Mathe für mich ein leidiges Übel darstellt und ich zwecks des wirtschaftspädagogischen Studium in diesem Modul meine CP erwerben muss.

Dies ist mir an folgenden Aufgaben aufgefallen:

(Klausuraufgabe)

1 .)

Prüfen Sie, ob es sich bei

M_{1}

und

M_{2}

um lineare Unterräume des

ℝ^{2}

handelt:

M 1 = {λ (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix}), μ (\begin{matrix} - 7 \\ - 4 \end{matrix}) | λ, μ \in ℝ}

M 2 = (\begin{matrix} 116 \\ - 28 \end{matrix}), β (\begin{matrix} - \frac{29}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}) | β \in ℝ}

(Tutoriumaufgabe)

2 .)

Prüfen Sie, ob es sich bei den Mengen um reelle Vektorräume des ℝ3 handelt:

M = {(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}), λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) | λ \in ℝ

Bemerkung:
- Was ich immer wieder gelesen und mitbekommen habe, dass man mittels der Vektoraddition
und der Multiplikation eines Vektors mit einem beliebigen Skalar λ jeweils die Abgeschlossenheit zu prüfen hat. Abgeschlossenheit heißt in dem Falle man egal ob man die Addition oder Multiplikation durchführt den Unterraum nicht verlässt. Die "Abgeschlossenheit" hab ich noch nicht wirklich verstanden, mir kommt es bei den Lösungen immer so vor, als müsse man durch die Vektoraddition und Skalarmultiplikation als Ergebnis genau den gleichen angegeben Vektor bekommen.

- Wichtige Eigenschaft von Unterräumen ist, dass sie stets einen Nullvektor besitzen, also

z . B

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

oder

(0, 0, 0)

für

ℝ^{3}

. Schön und gut... was soll mir das jetzt bezüglich der Prüfung sagen?

- Jetzt ist in der Aufgabe 2. von reellen Vektorräumen die Rede, aber das Vorgehen soll ja das gleiche sein.

Ansatz für

1 .) M_{1} :

Vektoraddition:

(\begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow

nicht abgeschlossen

Skalarmultiplikation:

λ = 1

1 \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix})

⇒ nicht abgeschlossen

Ansatz für

2 .) M :

Vektoraddition:

(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow

abgeschlossen

Skalarmultiplikation:

λ = 1

2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow

nicht abgeschlossen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:06 Uhr, 07.01.2015

Hallo,

ich kann die Aufgabe nicht richtig lesen. In der Mengendefinition scheinen die Vektoren durch ein Komma getrennt? Was bedeutet das?

Gruß pwm

supaboy aktiv_icon

17:14 Uhr, 07.01.2015

In der Tat handelt es sich um eine Kommatrennung.

zu Aufgabe

1 .)

Die Menge

M_{1}

umfasst zwei Vektoren in

M_{1} = {λ (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \end{matrix}), μ (\begin{matrix} - 7 \\ - 4 \end{matrix}) | λ, μ \in ℝ}

ledum aktiv_icon

21:23 Uhr, 07.01.2015

Hallo
bei

M 1

handelt es sich um 2 linear unabhängige Vektoren,

d . h

. du kannst jeden Vektor des

ℝ^{2}

erzeugen. auch den Nullvektor. also ist

M 1

der

ℝ^{2}

selbst danit auch unteerraum.

M 2

ist ein uVR wenn man mit geeigneter Wahl von

β

den ersten Vektor erzeugen kann sonst nicht, weil dann

(0,0)

nicht dazugehörte.
Tutorial hier sieht man direkt, dass man durch Wahl von ˜lambda den ersten einzelnen Vektor nicht erreichen kann

d, h,

jein VR (es ist ein affiner Unterraum (eine Gerade, die nicht durch

(0,0)

geht.)
Was meinst du mit deinem abgeschlossen? etwa mit jeden 2 Vektoren muss auch jede Linearkombination davon enthalten sein.
ich denke das bei

M 1

und

M 2

auch die Summe der Vektoren mitgemeint ist, ohne das sind das keine UVR
Gruß ledum

pwmeyer aktiv_icon

09:47 Uhr, 08.01.2015

Hallo ledum,

Dein Antwort zur ersten Frage wird durch die Bezeichnung von

M 1

nicht gedeckt. Nach der Formulierung (und meiner Rückfrage) besteht

M 1

nur aus den Vielfachen des ersten Vektors und den Vielfachen des zweiten Vektors - nicht jedoch aus den Linearkombinationen. Es seie denn, dies sei mitgemeint?

Gruß pwm

ledum aktiv_icon

11:47 Uhr, 08.01.2015

Hallo
wenn die Kombinationen nicht gemeint sind, ist die Frage sinnlos, denn dann ist keine Menge, die aus mehr als

r \cdot v

besteht ein VR
in dem Fall ist nur

M 2

ein VR
Gruß ledum

supaboy aktiv_icon

13:54 Uhr, 08.01.2015

Ich versuch mal eure gemachten AUssagen nachzuvollziehen und rein rechnerisch zu belegen.

Klausuraufgabe:
In den Lösungen zu der Klausuraufgabe für

M_{1}

steht, dass es sich nicht um einen UVR handelt.
Ich kann ja zu den jeweiligen Vektoren mit ihren Skalaren keine entsprechende Vielfache bilden.

Bei

M_{2}

handelt es sich jedoch um ein UVR! Dies kann man nachprüfen indem man für

β

das

- 16

einsetzt und somit den ersten Vektor berechnet:

\frac{116}{- \frac{29}{4}} = - 16

- \frac{28}{\frac{7}{4}} = - 16

- 16 \cdot (\begin{matrix} - \frac{29}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 16 \cdot - \frac{29}{4} \\ - 16 \cdot \frac{7}{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 116 \\ - 28 \end{matrix}) \Rightarrow β = - 16

Aufgabe aus dem Tutorium:

M = {(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}), λ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) | λ \in ℝ}

Dadurch, dass ich in einem Vektor eine 0 and unterschiedlichen Stellen habe, kann ich kein Vielfaches des jeweiligen Vektor zum anderen mit

λ

bilden.

Jetzt zum Verständnis nochmal für mich.
Angenommen die Aufgabe sähe wie folgt aus:

M = {(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}), λ (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) | λ \in ℝ}

So kann ich offensichtlich mit

λ = - \frac{1}{2}

als Skalar für den Vektor

(\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

das Vielfache zum Vektor

(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})

bilden. Es handelt sich somit um einen VR und UVR:

\frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}

- \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}

\frac{0}{0} = 0,

aber

- \frac{1}{2} \cdot 0 = 0

- \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow λ = - \frac{1}{2}

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