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Prüfung ob Nullfolge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Nela1 aktiv_icon

13:41 Uhr, 07.04.2013

Hallo,

ich habe folgende Folge und soll prüfen ob es eine Nullfolge ist:

a_{n} = \frac{3^{n + 1} + 2^{n}}{3^{n} + 1}

ich überprüfe das indem ich

a_{n} -

den vermutenten Grenzwert rechne:

a_{n} - 3 : \to \frac{3^{n + 1} + 2^{n} - 3 (3^{n} + 1)}{3^{n} + 1}

jetzt ist nur die Frage wie ich weitermachen kann:

3^{n} + 1

ist doch nicht das gleiche wie

3^{n + 1}

oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

19:18 Uhr, 07.04.2013

was hast du dir denn da ausgedacht?

Wenn

lim_{n \to \infty} a_{n} = 3

ist ..
(wie du selbst schon schreibst und auch leicht ausrechnen kannst)

dann ist es doch hirnrissig,
überprüfen zu wollen, ob

a_{n}

eine Nullfolge ist..?

pwmeyer aktiv_icon

20:06 Uhr, 07.04.2013

Hallo,

"

3^{n} + 1

ist doch nicht das gleiche wie

3^{n + 1}

oder?"

Du solltest dringend Deine Schulbücher /Vorlesungsunterlagen zum Thema Potenzen durcharbeiten, um diese Frage selbst zu beantworten.

Wenn Du das getan hast, solltest Du in Deiner Differenz im Zähler die Klammer ausmultiplizieren und das weiter verarbeiten.

Gruß pwm

rundblick aktiv_icon

20:28 Uhr, 07.04.2013

@ pwmeyer :

.. vielleicht solltest auch du den Aufgabentext lesen

\to

"ich habe folgende Folge und soll prüfen ob es eine Nullfolge ist: ..."
(mit

: a_{n}

siehe oben)

bevor du solche Ratschläge gibst

\to

"das weiter verarbeiten."

Klartext:
die Dame ist doch schlicht auf dem falschen Weg und sollte so
NICHT weitermachen.. - und nur das sollte man ihr klar sagen..

oder?

Nela1 aktiv_icon

22:01 Uhr, 07.04.2013

Hallo,

erstmal danke, dass ihr mir helfen wollt... Leider ist das ganze nicht auf meinem Mist gewachsen... mein Professor hat ein Beispiel angegeben und 3 Schritte angegeben:
1. Einsetzen großer Werte für

n

2. Vermutung für Grenzwert
3. Anwendung der Rechenregeln für Nullfolgen

So und da war hald oben genanntes Beispiel gegeben und ich bin durch seine Schritte nicht durchgestiegen... bzw. der Mittelteil wurde ausgelassen und es wurde dann nur festgehalten

{(\frac{2}{3})}^{n} = q

Nullfolge

pwmeyer aktiv_icon

10:54 Uhr, 08.04.2013

Hallo,

@ rundblick:

Aus dem gesamten Text hoffte ich entnehmen zu dürfen, dass Nela1 nach Deinem Hinweis klarer sieht und sich wieder mit ihren technischen Problemen auseinandersetzen muss - dafür war mein Hinweis gedacht.

Gruß pwm

rundblick aktiv_icon

11:40 Uhr, 08.04.2013

"So und da war hald oben genanntes Beispiel gegeben
und ich bin durch seine Schritte nicht durchgestiegen.."

\to

du bist schon beim Einstieg "verunfallt"

also: NICHT

a_{n}

ist eine Nullfolge,
sondern gezeigt werden soll, dass die Folge

b_{n} = a_{n} - 3

eine Nullfolge ist
(dann wäre damit nochmal abgesichert, dass der Grenzwert für

a_{n}

gleich 3 ist)

also:

b_{n} = \frac{3^{n + 1} + 2^{n} - 3 \cdot (3^{n} + 1)}{3^{n} + 1}

= \frac{3^{n + 1} + 2^{n} - 3^{n + 1} - 3}{3^{n} + 1}

= \frac{2^{n} - 3}{3^{n} + 1}

= \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} - \frac{3}{3^{n}}}{1 + \frac{1}{3^{n}}}

so - und da

{(\frac{2}{3})}^{n}

und

\frac{3}{3^{n}}

Nullfolgen sind, geht der Zähler gegen 0

und der Nenner

(1 + \frac{1}{3^{n}})

geht gegen 1

und damit Quotient .. und damit

b_{n} .

\to \frac{0}{1} = 0

und dann

a_{n}

also gegen 3

vielleicht siehst du jetzt, was beabsichtigt war..
obwohl das so eh verhältnnismässiger Schwachsinn ist,
da

lim_{n \to \infty} a_{n} = 3

ja mit gleichen Überlegungen direkt ermittelt ist

ok?

Bummerang

12:28 Uhr, 08.04.2013

Hallo,

"obwohl das so eh verhältnnismässiger Schwachsinn ist,
da

lim_{n \to \infty} a_{n} = 3

ja mit gleichen Überlegungen direkt ermittelt ist"

Da sollte man mit dem Wort "Schwachsinn" etwas zurückhaltender sein und sich stattdessen fragen, ob vielleicht die Überlegung, Zähler und Nenner mit

3^{n}

zu dividieren, gar nicht unter die Aufgabenstellung "Anwendung der Rechenregeln für Nullfolgen" fällt. Insbesondere, da dieses Vorgehen nicht nullfolgenspezifisch ist, sondern bei jeder Folge funktioniert. An der Stelle

\frac{2^{n} - 3}{3^{n} + 1}

wäre das Wissen darüber erforderlich, was die "vorgegebenen Rechenregeln für Nullfolgen" sind!

rundblick aktiv_icon

16:38 Uhr, 08.04.2013

@ Bummerang
du hast natürlich Recht und ich werde mich bemühen,
mit dem Wort etwas zurückhaltender zu sein ..

Aber wie soll ich dann sowas benennen

: \to

ZITAT:
" .. wäre das Wissen darüber erforderlich, was
die "vorgegebenen Rechenregeln für Nullfolgen" sind! "
ZITAT ENDE

.. wo doch - wie du selbst erkannt hast - jeder Bruch problemlos
zB mit

3^{n}

gekürzt werden kann ..
da braucht es doch keine speziell "vorgegebene Rechenregeln für Nullfolgen" ?

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