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Punkt auf Tangente

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Funktion, Punkt, Tangent

Fedel aktiv_icon

18:42 Uhr, 20.01.2019

Hallo

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = 0,5 \cdot x^{2}

. Bestimmen Sie die Punkte des Graphen, dessen Tangenten durch den Punkt A(1\0) verlaufen.

Wie geht man vor? Danke!

Zeichnerisch sollte der Punkt (2\2) herauskommen. Ich habe die tangentengleichung mit

m = x

und Punkt A aufgestellt, komme dann aber nicht weiter?!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Einführung Funktionen
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

19:57 Uhr, 20.01.2019

Hallo
schreibe die Tangentengleichung für einen Punkt

x_{1}

auf der Parabel hin. dann bestimme

x_{1}

so, dass die Gerade durch

(1,0)

geht.
Gruß ledum

Fedel aktiv_icon

20:21 Uhr, 20.01.2019

wie genau?
Schreibe mir bitte den Lösungsweg!

rundblick aktiv_icon

20:34 Uhr, 20.01.2019

.
was hälst du von der Idee, dass du auch mal was überlegst?

ich mache dir noch einen anderen Lösungsvorschlag :

\to

schreibe dir eine Gleichung für Geraden auf, die alle durch

A (1 / 0)

gehen
( zB:

y = m (x - 1) ...

. mit

m \in ℝ)

\to

berechne die möglichen Schnittpunkte, die diese Geraden mit der Parabel

y = \frac{1}{2} x^{2}

haben.

\to

und bestimme nun das

m

so, dass es nur genau einen Schnittpunkt gibt
.. (warum wird das dann eine Tangente sein ?)

du hast dann also für dieses

m

die Gleichung der Tangente und den Berührpunkt

mach mal :

\to . .

- - - - - - - - -

und dann noch dazu:
"Zeichnerisch sollte der Punkt (2\2) herauskommen."

\to

Ja - aber es gibt (auch "zeichnerisch") wohl noch eine zweite Lösung ?!
.. welche ?
.

Fedel aktiv_icon

21:16 Uhr, 20.01.2019

Man könnte die Funktionen und die Ableitungen gleichsetzen, da der Anstieg gleich ist?
Die zweite Lösung kann nur

y = 0

sein?

rundblick aktiv_icon

21:51 Uhr, 20.01.2019

.
"Die zweite Lösung kann nur

y = 0

sein?"

\to

ja - die x-Achse ist eine der möglichen Tangenten . Berührpunkt ist der Parabelscheitel.

"Mann könnte die Funktionen und die Ableitungen gleichsetzen, da der Anstieg gleich ist?"

\to

möglich .. ( deine Formulierung ist aber unkorrekt)
.. dann bekommst du für

m

die Bestimmungsgleichung

\to m^{2} - 2 m = 0 .

. usw ..

.

Fedel aktiv_icon

22:07 Uhr, 20.01.2019

f (x) = 0,5 \cdot x^{2}

f 1 (x) = x = m

y=t(x)=mx+n
A(1\0)

m = x

0 = x \cdot 1 + n

f = t

0,5 \cdot x^{2} = x + n

Komme dann nicht weiter?!

rundblick aktiv_icon

22:16 Uhr, 20.01.2019

.
" y=t(x)=mx+n
A(1\0)

m = x

... ... ... . .

. NEIN

!!

A(1\0) auf

t \Rightarrow x = 1

UND

y = 0

erfüllen

\to y =

=mx+n .. EINSETZEN

\Rightarrow 0 = m \cdot 1 + n

\Rightarrow n = - m

also ist die Gleichung der Geraden durch

A \to y = m x - m

\Rightarrow y = m \cdot (x - 1) ...

. ABER DAS HABE ICH DIR DOCH OBEN SCHON GESCHRIEBEN .
liest du nicht , was Mann dir schreibt ?

mach also jetzt damit richtig weiter

\to .

.

.

Fedel aktiv_icon

22:40 Uhr, 20.01.2019

Das Gleichsetzen

0,5 \cdot x^{2} = m \cdot (x - 1)

bringt mich dann auch nicht weiter!?

rundblick aktiv_icon

16:28 Uhr, 21.01.2019

.
"bringt mich dann auch nicht weiter!?"

\to

Wieso ? - Kannst du denn keine quadratische Gleichung lösen ? ? ?

\to x^{2} - 2 m \cdot x + 2 m = 0 . .

\Rightarrow x_{1,2} = . .

. ?

\to

und für welche Werte des Parameters

m

hat diese quadratische Gleichung
.. NUR GENAU EINE Lösung ? (für diese

m

berührt die Gerade die Parabel)

also

: . .

.

?

Atlantik aktiv_icon

19:11 Uhr, 21.01.2019

Ein alternativer Weg:

f (x) = \frac{1}{2} x^{2}

(rot in der Zeichnung )

f

(x) = x

P (1 | 0)

\frac{y - 0}{x - 1} = x

y = x^{2} - x

(grün in der Zeichnung ) geschnitten mit

f (x)

gibt die Berührpunkte

. .

.

Tangenten aufstellen

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

Fedel aktiv_icon

02:42 Uhr, 25.01.2019

Danke
Da nur die Punkte gesucht sind habe ich es mit der Formel gelöst

y = f 1 (u) \cdot (x - u) + f (u),

die Rundblick nicht bekannt zu sein scheint.

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