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Punkt auf beliebiger Achse rotieren lassen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

-MaaB- aktiv_icon

18:24 Uhr, 15.10.2009

Hallöchen,

ich sitze derzeit an einem kleinen Problem, welches sich wie folgt schildert:

Ich habe einen Punkt im

ℝ 3

der beliebig im Raum liegt.
Diesen möchte ich um einen bestimmten Winkel im Raum rotieren lassen (siehe Bild).

Mein Punkt (auf dem Bild rot/schwarz) liegt im Raum auf einen Rotationskreis

(=

türkis).
Auf diesen Kreis soll sich der Punkt um einen bestimmten Winkel

(=

gelb) rotieren lassen (Anmerkung: Der gezeichnete Rotationskreis ist nur

\frac{1}{4}

des eigentlichen Kreises, klar ist, dass der Kreis in anderen Quadranten des Koordinatensystems weiterläuft!).
Hierbei kommt hinzu, dass ich den Mittelpunkt der Rotation gegeben habe, ebenso habe ich die Koordinaten des Punktes selbst.

Der (graue) Kreis der in der XY-Ebene liegt beschreibt nur die Rotation um die Z-Achse, welches ich mittels Dreh- bzw. Rotationsmatrix errechnen konnte, dies ist nicht Teil meines Problems.

Was ich mir anfangs gedacht habe ist, die Achse zu berechnen um den sich der Punkt rotieren soll.
Ich wüsste zwar, wie ich den Richtungsvektor zwischen Mittelpunkt und Koordinaten des Punktes berechnen kann und auch in die Richtung der Achse drehen kann (Drehmatrix) jedoch glaube ich nicht, dass das der richtige Weg ist...

Ich hatte irgendwo was gelesen von Kreuzprodukt von Ortsvektor und Z-Achse, jedoch weiss ich nicht wie das genau gemeint ist und selbst wenn das der Schüssel sein sollte, weiss ich nicht, wie ich dann die Rotation errechnen soll.

Ich hoffe Ihr könnt mir bei der Problematik helfen!

Viele Grüße,
MaaB.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Photon aktiv_icon

18:39 Uhr, 15.10.2009

Ich weiß nicht, ob es der kürzeste Weg ist, aber man könnte doch den "Fußpunkt" berechnen, den Schnittpunkt der beiden Kreise in der x-y-Ebene, und dann aus dem Fußpunkt über den Winkel

α = α_{u r s p r u e n g l i c h} - α_{d r e h}

den neuen Punkt zu berechnen.

-MaaB- aktiv_icon

21:43 Uhr, 15.10.2009

Ich bin mir nicht sicher, aber vielleicht ist das schon etwas zu kompliziert.

Kann mir jemand sagen, ob folgendes möglich ist:
Der Standort ist jetzt bspw.

[0, 0, 0], d . h

. der Koordinatenursprung.
Der Punkt der sich um die Achsen also um meinen Standort rotieren soll befindet sich immernoch irgendwo im Raum, bspw.

[2, 2, 2]

.

Richtungsvektor=

\vec{r} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Ich berechne vorerst den Winkel zwischen X-Achse und den Punkt.
Dazu nehme ich einen Vektor der nur auf der XY-Ebene liegt und wo

Z = 0

ist.

\vec{d} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

cos γ = \vec{d} \cdot \frac{\vec{x}}{| \vec{d} |} \cdot | \vec{x} |

Anschließend rotiere ich den Punkt um die Z-Achse mit

Z = | (cos (γ), - sin (γ),0), (sin (γ), cos (γ), 0), (0,0,1) |

Dann rotiere ich den Punkt auf der Y-Achse um den Winkel

β

Y = | (cos (β),0, - sin (β)), (0,1,0), (sin (β),0, cos (β)) |

Dann rotiere ich den Punkt auf der Z-Achse wieder zurück mit Zr^(-1)

Funktioniert dass so ?

D . h

.

Der neue Richtungsvektor für den Punkt wäre vec(r)neu

= | Z (γ) | \cdot | Y (β) | \cdot | Z^{- 1} (γ) | \cdot \vec{r}

Stimmt das ?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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