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Punkt b

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitstheorie, Zufallsvariablen

Mathe-Lo aktiv_icon

11:28 Uhr, 03.05.2021

Hallo Leute

Ich brauche ein bisschen Hilfe bei der folgenden Aufgabe Punkt b) .

Hat jemand einen Tipp oder eine Idee?
Danke im Voraus

Sei

Ω = [0, 1]

und

ℱ = {A \subseteq [0, 1] : A

ist abzählbar oder

A^{c}

ist abzählbar

}

.
a) Zeige, dass

ℱ

eine

σ

-Algebra ist.
b) Sei nun

λ

das Lebesgue-Maß auf

(Ω, ℱ)

. Charakterisiere alle Zufallsvariablen

X : (Ω, ℱ, λ) \to (ℝ, ℬ (ℝ)) .

Ist es möglich, dass eine solche Zufallsvariable
exponentialverteilt ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:55 Uhr, 04.05.2021

Punkt a):
www.math.uni-bielefeld.de/kassmann/data/uploads/1516_ws_mit/u-loesungen00.pdf

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14:07 Uhr, 04.05.2021

b) Es muss gelten: für alle Borel-Mengen

B

liegt

X^{- 1} (B)

F

, ist also abzählbar oder hat abzählbares Komplement in

[0, 1]

.
Exponentialverteilt kann sie also schon nicht sein, denn bei ihr ist

P (X^{- 1} (B)) = P (X \in B) = \int_{B} f_{X} d x

, wobei

f_{X}

die Dichte ist. Wenn man z.B.

B = (0, 1)

nimmt, dann ist es

\int_{0}^{1} f_{X} d x

, was

> 0

ist. Damit kann

X^{- 1} (B)

nicht abzählbar sein, denn dann wäre

P (X^{- 1} (B)) = λ (X^{- 1} (B)) = 0

. Aber wenn

X^{- 1} (B)

abzählbares Komplement hat, dann gilt

P (X^{- 1} (B)) = λ (X^{- 1} (B)) = 1

. Also

\int_{0}^{1} f_{X} d x = 1

. Das kann aber auch nicht sein, denn

\int_{0}^{2} f_{X} d x > \int_{0}^{1} f_{X} d x

für die exponentiell verteilte ZF. Damit hätten wir die W-keit >0.

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14:09 Uhr, 04.05.2021

An der Argumentation sieht man übrigens, dass es allgemein keine ZF mit einer Dichte sein kann.

DrBoogie aktiv_icon

14:42 Uhr, 04.05.2021

Ich wiederhole die Argumentation etwas knapper.
Sei

B

eine beliebige Borel-Menge.
Dann haben

P (X \in B) = P (X^{- 1} (B)) = λ (X^{- 1} (B))

. Dabei ist entweder

X^{- 1} (B)

abzählbar, in dem Fall ist

λ (X^{- 1} (B)) = 0

, oder das Komplement von

X^{- 1} (B)

abzählbar, in dem Fall ist

λ (X^{- 1} (B)) = λ ([0, 1]) = 1

.
Also,

P (X \in B)

ist immer entweder

0

oder

1

. Das ist die wichtige Erkenntnis.

Wenn wir jetzt

ℝ = \cup_{n} (n, n + 1]

schreiben, dann gilt

1 = P (X \in ℝ) = \sum_{n} P (X \in (n, n + 1])

. Und da in der Summe nur Nuller oder Einse stehen können, folgt, dass da nur einmal

1

stehen kann. Sagen wir mal,

P (X \in (2, 3]) = 1

und andere sind

0

.
Wir können jetzt

(2, 3] = (2, 2.5] \cup (2.5, 3]

schreiben und sehen genauso, dass

P (X \in (2, 2.5]) = 1

oder

P (X \in (2.5, 3]) = 1

. Und dieses Spiel kann man unendlich treiben, womit gezeigt wird, dass es immer kleinere Intervalle

I_{n}

gibt, für die

P (X \in I_{n}) = 1

gilt.
Wenn man

\cap_{n} I_{n}

betrachtet, dann ist es nur ein Punkt

x_{0}

, denn die Länge der Intervalle geht gegen

0

. Daraus folgt, dass

P (X = x_{0}) = 1

, also ist

X

eine Konstante.

Mathe-Lo aktiv_icon

16:03 Uhr, 04.05.2021

Vielen Dank für die ausführliche Antwort . Sehr hilfreich .:-)

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