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Punkt b

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitstheorie, Zufallsvariablen

 
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Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

11:28 Uhr, 03.05.2021

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Hallo Leute

Ich brauche ein bisschen Hilfe bei der folgenden Aufgabe Punkt b) .

Hat jemand einen Tipp oder eine Idee?
Danke im Voraus


Sei Ω=[0,1] und ={A[0,1]:A ist abzählbar oder Ac ist abzählbar }.
a) Zeige, dass eine σ -Algebra ist.
b) Sei nun λ das Lebesgue-Maß auf(Ω,). Charakterisiere alle Zufallsvariablen X:(Ω,,λ)(,()). Ist es möglich, dass eine solche Zufallsvariable
exponentialverteilt ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:55 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Punkt a):
www.math.uni-bielefeld.de/kassmann/data/uploads/1516_ws_mit/u-loesungen00.pdf
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:07 Uhr, 04.05.2021

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b) Es muss gelten: für alle Borel-Mengen B liegt X-1(B) in F, ist also abzählbar oder hat abzählbares Komplement in [0,1].
Exponentialverteilt kann sie also schon nicht sein, denn bei ihr ist P(X-1(B))=P(XB)=BfXdx, wobei fX die Dichte ist. Wenn man z.B. B=(0,1) nimmt, dann ist es 01fXdx, was >0 ist. Damit kann X-1(B) nicht abzählbar sein, denn dann wäre P(X-1(B))=λ(X-1(B))=0. Aber wenn X-1(B) abzählbares Komplement hat, dann gilt P(X-1(B))=λ(X-1(B))=1. Also 01fXdx=1. Das kann aber auch nicht sein, denn 02fXdx>01fXdx für die exponentiell verteilte ZF. Damit hätten wir die W-keit >0.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:09 Uhr, 04.05.2021

Antworten
An der Argumentation sieht man übrigens, dass es allgemein keine ZF mit einer Dichte sein kann.

Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:42 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Ich wiederhole die Argumentation etwas knapper.
Sei B eine beliebige Borel-Menge.
Dann haben P(XB)=P(X-1(B))=λ(X-1(B)). Dabei ist entweder X-1(B) abzählbar, in dem Fall ist λ(X-1(B))=0, oder das Komplement von X-1(B) abzählbar, in dem Fall ist λ(X-1(B))=λ([0,1])=1.
Also, P(XB) ist immer entweder 0 oder 1. Das ist die wichtige Erkenntnis.

Wenn wir jetzt =n(n,n+1] schreiben, dann gilt 1=P(X)=nP(X(n,n+1]). Und da in der Summe nur Nuller oder Einse stehen können, folgt, dass da nur einmal 1 stehen kann. Sagen wir mal, P(X(2,3])=1 und andere sind 0.
Wir können jetzt (2,3]=(2,2.5](2.5,3] schreiben und sehen genauso, dass P(X(2,2.5])=1 oder P(X(2.5,3])=1. Und dieses Spiel kann man unendlich treiben, womit gezeigt wird, dass es immer kleinere Intervalle In gibt, für die P(XIn)=1 gilt.
Wenn man nIn betrachtet, dann ist es nur ein Punkt x0, denn die Länge der Intervalle geht gegen 0. Daraus folgt, dass P(X=x0)=1, also ist X eine Konstante.
Frage beantwortet
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

16:03 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Vielen Dank für die ausführliche Antwort . Sehr hilfreich .:-)