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Punkt mit gleichem Abstand von 2 Geraden
Schüler
Tags: Einfachstes Vorgehen
 
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Hallo, ich habe folgendes Problem: Gegeben sind 2 Funktionen sowie Ich suche nun einen Punkt, welcher von beiden Geraden den Abstand 3 besitzt(es gibt ja zwei) Meine Idee: beide Funktionen mit parallel verschieben und deren Schnittpunkt berechnen. Dann noch einmal die Ursprungsfunktionen mit nach links verschieben und den Schnittpunkt der beiden neuen Fkt berechnen. Ich glaube jedoch, dass es eine einfachere Alternative gibt mittels Ansatz oder der Hesse-Normal Form. Leider habe ich dazu keine Idee, ausser, dass es zwei Gleichungen mit 2 Variablen geben könnte. Vielen Dank für eure Mühe! LG Francese Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ja da gibt es mehrere Lösungsansätze. Aber mach Dir erstmal mit einer Skizze klar, wie viele Punkte es in der x-y-Ebene wirklich gibt, welche die Bedingung "Abstand 3 von beiden Geraden" erfüllen. Denk daran, dass der "Abstand" von einer Geraden immer ein "senkrechter Abstand" ist, deshalb ist Dein Vorschlag mit der Verschiebung in x-Richtung leider falsch. ;-) |
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Bringt mich auf folgende Idee: Den Schnittpunkt der beiden Geraden berechnen, die Koordinaten nehmen und eine Kreisgleichung erstellen. Dann ist für alle Punke mit Radius 3 die Bedingung erfüllt. Stimmt das so? und was wären die Alternativen Lösungsansätze? |
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Den Schnittpunkt beider Geraden brauchst Du ganz sicher :-) Alle Punkte auf dem Kreis mit Radius 3 um den Schnittpunkt beider Geraden haben zwar den Abstand 3 vom Kreismittelpunkt aber nur genau vier Punkte auf diesem Kreis erfüllen die Bedingung, dass sie den Abstand 3 von beiden Geraden haben. ;-) Wie gesagt, mach mal eine Zeichnung, dann siehst Du mehr. Darfst Du diese Aufgabe evtl auch zeichnerisch lösen? Rechnerisch kommen nämlich für den Schnittpunkt schon mal keine besonders schönen Ergebnisse raus . . . Zur Kontrolle: Schnittpunkt der beiden Geraden ist bei |
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Ah ja, dann natürlich die Kreisgleichung mit den beiden Funktionen schneiden. Das ergibt dann 2 Lösungen pro Gerade. Wie sähen die andern Möglichkeiten aus? EDIT: ich benutze das Programm Geogebra zwecks Visualisierung. |
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Mit "Hesse" würdest du verhältnismäßig leicht die 4 Lösungen erhalten. |
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Sorry, aber mein Halbsatz von oben: "aber nur genau vier Punkte auf diesem Kreis erfüllen die Bedingung, dass sie den Abstand 3 von beiden Geraden haben." ist falsch! Folge am besten Respon - oder stell alternativ zB. Vektoren mit der Länge in die vier verschiedenen Geradenrichtungen auf. Die Addition des Ortsvektors des Schnittpunktes (siehe oben) und zweier dieser Vektoren zeigt auf jeweils einen gesuchten Punkt. ;-) |
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Bin gerade etwas am Ende mit meinem Latein... Ich habe die HNF bisher noch nie benutzt. Koordinaten sind ja unbekannt, gibt also eine Gleichung mit 2 Unbekannten. Dann muss man ja dasselbe für die zweite Funktion machen. Dann nach einer auflösen? Könnte jemand mal ganz konkret den Weg aufzeigen (mit der HNF)? Ich habe eine Skizze angefügt.  |
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Mit "Hesse" Durch die Kombination der Vorzeichen erhält man 4 LGS ( die du hoffentlich nicht "händisch" lösen musst ). Den Schnittpunkt der Geraden brauchst du dabei nicht. ( zur Kontrolle die 4 Punkte mit den Koordinaten. )  |
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sorry, habe oben schon wieder mit: "oder stell alternativ zB. Vektoren mit der Länge in die vier verschiedenen Geradenrichtungen auf. Die Addition des Ortsvektors des Schnittpunktes (siehe oben) und zweier dieser Vektoren zeigt auf jeweils einen gesuchten Punkt." was Falsches geschreiben Richtig wäre: . . . oder stell alternativ zB. Vektoren mit der Länge 3 SENKRECHT ZU DEN GERADENRICHTUNGEN auf. Die Addition des Ortsvektors des Schnittpunktes (siehe oben) und zweier dieser Vektoren zeigt auf jeweils einen gesuchten Punkt. ;-) |
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Danke für eure Antworten. Eine Frage bezüglich HNF: Wieso gibt es 4 Gleichungen (wahrscheinlich wegen 4 Schnittpunkten), wenn ich die HNF auflöse und quadriere kommt es auf das Vorzeichen ja gar nicht mehr an, da das Resultat in jedem Falle positiv wird, oder? Bezüglich Ortsvektor orthogonale Vektoren klappt das Rezept bei mir nicht. Kannst du mir noch einmal die Idee dahinter erläutern? Habe ich die falschen Vektoren genommen? Ich habe meinen Lösungsweg angehängt (beim letzten "Vektor" handelt es sich um den Punkt, falsche Darstellungsweise ich weiss)  |
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Deine Berechnungen mit "Hesse" stimmen nicht. Im Nenner steht der Betrag des Normalvektors, da kommt kein mehr vor. ist hier von Bedeutung: "In der hesseschen Normalform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene durch einen normierten und "orientierten" Normalenvektor der Geraden sowie ihren Abstand vom Koordinatenursprung beschrieben. " Je nachdem sich Punkt und Koordinatenursprung auf gleichen Seite oder auf verschiedenen Seiten der Gerade befindet gilt der Abstand als positiv bzw. negativ. Du kommst auf vier LGS. |
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Besten Dank, hat geklappt. Nur die Idee mit den Vektoren ist mir noch nicht klar. HNF reicht mir aber fürs erste... |
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Nur die Idee mit den Vektoren ist mir noch nicht klar. Du meinst das, was funke_61 vorgeschlagen hatte? Nun, dass sein erster Vorstoß in diese Richtungf falsch war, hat er ja selbst erkannt. Aber auch deine Berichtigung mit den Normalvektoren ist falsch und führt nicht zum Ziel. Also denk nicht weiter drüber nach. |
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