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Punktbestimmung

Schüler Gymnasium,

Tags: Vektorgeometrie

marco240 aktiv_icon

14:10 Uhr, 27.05.2014

Hallo liebe Leute ich habe Probleme in einem Aufgabenteil, den unser Lehrer uns mitgegeben hat um uns auf die mündliche Abiturprüfung vorzubereiten, welche jetzt am kommenden Freitag ist.

Zur Aufgabe:

Gegeben seien die Punkte A(1/6/0) B(4/7/2) C(2/7/1) D(2/0/2)

a) Es sei E die Ebene durch ABC. Stellen sie [PF] [KF] auf uns zeigen sie, dass D nicht in E liegt.

b) Zeigen sie dass die Gerade g durch D mit dem Richtungsvektor |24/-2/11| parallel zu E ist.

c) Die ebene F ist orthogonal zu E und enthält die Gerade g. E schneidet F in einer Geraden h. Geben sie die Gleichung für die Gerade an.

d) Die Gerade k durch die Punkte A und B durchstößt die zu ihr orthogonale Ebene durch C in einem Punkt F. Bestimmen sie diesen Punkt und berechnen sie die Länge von CF.
Berechnen sie dann den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

e) Der Abstand von D zu e beträgt 9/wurzel6. Berechnen sie mit Hilfe der Ergebnisse in d) das Volumen der Dreieckspyramide mit den Ecken A,B,C und D

In Aufgabe a)bin ich zu dem Ergebnis gekommen 2=7 was bedeutet, dass D kein Element von E ist. Meine Koordinatenform lautet -x-y+2z = -7

In Aufgaben b) habe ich die Gerade mit der Ebene gleichgesetzt und bin zu dem Ergebis 0=-9 gekommen, was die Parallelität der Gerade und der Ebene bestätigt.

In Aufgabe c) habe ich die Ebene F (hergelietet aus der Geraden g und dem Normalenvektor von E als zweiter Spannvektor) in die Ebene E eingesetzt um die Schnittgrade zu ermitteln. Ergebnis: VektorX=(3,5/1,5/-1) + r (24/-2/11).

So jetzt zu meinem eigentlichen Problem:
Ab Aufgabenteil d) weiß ich mir gar nicht mehr weiterzuhelfen. Ich bitte um eine Hilfestellung/Erklärung, da ich mir einen mehrtägigen Schriftwechsel, so gern ich auch wollte, leider nicht mehr zeitlich erlauben kann.

Ich danke im Vorraus und hoffe auf schnellstmögliche Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

14:30 Uhr, 27.05.2014

d)

\to

Die Gerade

k

durch die Punkte A und

B

\to

durchstößt die zu ihr orthogonale Ebene

N

durch

C

\to

in einem Punkt F.
Bestimmen sie diesen Punkt und berechnen sie die Länge von CF."

1.

\to

eine Gleichung von

k

kannst du bestimmt notieren?

- > . .

.

2.

\to

für die Gleichung der Ebene

N

weisst du : der Richtungsvektor von

k

ist ein Normalenvektor von

N . .

. also sind dessen Komponenten mögliche
Vorzahlen von

x, y, z

der Ebenengleichung.
da

C \in N

bekommst du damit die freie Konstante der Gleichung von

N

\to

der Durchstosspunkt

F

von

k

durch

N

sollte dann auch kein Problem mehr sein ?

ok?

nebenbei:
deine Lösungen zu

a), b)

und

c)

sind richtig..

marco240 aktiv_icon

14:51 Uhr, 27.05.2014

1. -> k: VektorX = (1/6/0) + r (3/1/2) ?

2. -> N in Koordinatenform = 3x+y+2z ?

Es tut mir echt leid, aber ich weiß mir wirklich nicht weiterzuhelfen ...

rundblick aktiv_icon

14:55 Uhr, 27.05.2014

"
2.

\to N

in Koordinatenform

= 3 x + y + 2 z

? "

bist doch auf einem guten Weg..

N : \to 3 x + y + 2 z + d = 0 ... ...

. da fehlt noch die Konstante

d

nun weisst du doch, dass

C \in N \to

dh: die Koordinaten von

C

müssen
die Gleichung von

N

erfüllen

\to

wie gross wird also der Wert der Konstanten

d

sein ?

\to

marco240 aktiv_icon

15:00 Uhr, 27.05.2014

D einsetzen in N ?

d = -10 ?

rundblick aktiv_icon

15:02 Uhr, 27.05.2014

D

einsetzen in

N

? "

... ... ... ... ... ... .

. NEIN

- \to

nicht

D

sondern

C

soll in

N

herumliegen

lies halt einfach mal deinen eigenen Aufgabentext..

also:

d =

marco240 aktiv_icon

15:06 Uhr, 27.05.2014

Sorry Flüchtigkeitsfehler ...

d = -15

rundblick aktiv_icon

15:09 Uhr, 27.05.2014

geflüchtet ?

also:

d = - 15

ist jetzt gut...

\to

Gleichung von

N \to

?

und dann :
der Durchstosspunkt

F

von

k

durch

N

\to F

?

nun,
den Rest wirst du jetzt bestimmt alleine richtig erledigen können..
zur Überprüfung:
der genaue Wert von

\to | \vec{C F} | = \frac{1}{7} \sqrt{21}

Stephan4

15:14 Uhr, 27.05.2014

Schnell und einfach:
Wenn man

\vec{A C}

auf

\vec{A B}

projiziert, bekommt man

\vec{A F}

\vec{F} = \vec{A} + \frac{\vec{A C} \cdot \vec{A B}}{\vec{A B} \cdot \vec{A B}} \cdot \vec{A B}

\vec{F} = (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{6}{14} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{1}{14} \cdot (\begin{matrix} 32 \\ 90 \\ 12 \end{matrix})

\vec{F} = (\begin{matrix} 2,286 \\ 6,429 \\ 0,857 \end{matrix})

| \vec{C F} | = | (\begin{matrix} 0,286 \\ - 0,571 \\ - 0,143 \end{matrix}) | = \sqrt{0,429} = 0,655

Hoffe, da ist kein Fehler drin.

marco240 aktiv_icon

15:22 Uhr, 27.05.2014

Ich verstehe leider keinen einzigen Schritt, ich kanns einfach nicht nachvollziehen...

Ich möchte dich auch gar nicht weiter aufhalten und danke dir herzlichst für deine Hilfestellung, die allerdings nicht bei mir angekommen ist.

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