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Punkte an der Horizontale Tangentialebene

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, punkte auf den graphen

YoungNoob aktiv_icon

20:20 Uhr, 08.01.2023

Bestimmen sie alle Punkte

(x | y f (x, y)),

an denen das Schaubild der Funktion F(x,y)=e^(−x2−y3+12y) eine horizontale Tangentialebene besitzt.

Also ich habe als erstes eine Partielle Ableitung gemacht.

f′(x)= −2xe^(−x2−y3+12y)
f′(y)= (12-3y^2^)e^(−y3+12y−x2)

Diese habe ich dann Null gesetzt. Die Punkte

x = 0, y = 2

und

y = - 2

bekommen.

Nun weiß ich nicht wie ich ist Punkte interpretieren muss und auch nicht wie ich den Punkt

f (x, y)

bekomme.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Punov aktiv_icon

14:43 Uhr, 09.01.2023

Hallo, YoungNoob!

Wenn ich dich korrekt verstehe, dann suchst du die Punkte

v_{0} := (x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))^{⊤} \in ℝ^{3}

, deren Tangentialebene am Graphen von

f (x, y) = e^{- x^{2} - y^{3} + 12 y}

horizontal sind.

Du bist genau auf dem richtigen Weg gewesen. Die Tangentialebene

T_{v_{0}}

am Punkt

v_{0}

ist gegeben durch

T_{v_{0}} = {v_{0} + λ {(1, 0, \frac{\partial f (x_{0}, y_{0})}{\partial x})}^{⊤}, μ {(0, 1, \frac{\partial f (x_{0}, y_{0})}{\partial y})}^{⊤} : λ, μ \in ℝ}

und wir suchen diejenigen

v_{0}

, für die

T_{v_{0}}

parallel zur

x y

-Ebene, also orthogonal zur

z

-Ebene sind. Daraus folgt, dass

T_{v_{0}}

genau dann horizontal ist, wenn

\frac{\partial f (x_{0}, y_{0})}{\partial x} = - 2 x_{0} f (x_{0}, y_{0}) = 0 und \frac{\partial f (x_{0}, y_{0})}{\partial y} = (- 3 y_{0} + 12) f (x_{0}, y_{0}) = 0

,

was für

x_{0} = 0

und

y_{0} = \pm 2

erfüllt ist.

Somit sind die gesuchten Punkte

A = (0, 2, e^{16})

sowie

B = (0, - 2, e^{- 16})

und die zugehörigen Tangentialebenen kann man plotten:

f (x, y)

ist in Türkis,

T_{A}

in Grün und

T_{B}

in Rot dargestellt (letztere jeweils zusätzlich durch Gitter angedeutet, damit man sie besser vom Funktionsgraphen unterscheiden kann). Die Punkte

A

und

B

selbst sind weiß eingezeichnet.

Viele Grüße

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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