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Punkte in anderes Koordinatensystem abbilden

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Abbildungen (Funktionen), Angewandte Lineare Algebra

 
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user39

user39

19:21 Uhr, 15.09.2021

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Hallo,
ich habe Punkte in einem Koordinatensystem und möchte diese in ein anderes Abbilden. Das neue Koordinatensystem hat eine beliebige Höhe und ist von oben nach unten beschriftet (das kommt daher, dass ich das gerne in meinem Programm umsetzen möchte, und das Fenster eben von oben nach unten geht, das sollte aber kein Problem sein noch umzurechnen)
Im Anhang ist ein Bild mit einer Skizze (die Saklierungen an den Achsen sind hier nur beispielhaft und können in der Anwendung beliebig sein). Mich interessieren nur die y-Koordinaten.

Was kenne ich:
- die y-Koordinaten im ursprünglichen Koordinatensystem
- die Höhe des neuen Koordinatensystems

Wie kann ich mit diesem Wissen die gesuchte Abbildung finden?

Skizze

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
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pivot

pivot aktiv_icon

20:14 Uhr, 15.09.2021

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Hallo,

du nimmst jeweils zwei beliebige Punkte der jeweiligen y-Achse.

Punkte der ursprünglichen (u) y-Achse y1u=0 und y2u=1. Dann die entsprechenden Werte der transformierten (t) y-Achse: y1t=200 und y2t=0.

Nun eine lineare Transformation, mit linearer Funktion yt=myu+b. Die Steigung ist

m=y1t-y2ty1u-y2u=200-00-1=-200

Für y1u=0 ist der "Funktionswert" gleich y1t=200. Diese Werte in die lineare Funktion einsetzen.

yt=-2000+b=200. Also ist b=200 Und somit ergeben sich die transformierten y-Werte aus der folgenden Funktion:
yt=-200yu+200

Gruß
pivot


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Respon

Respon

20:17 Uhr, 15.09.2021

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Versuchs mal damit:
y2=h(1-y1)
h beliebig wählbar, in deinem Beispiel h=200.
user39

user39

22:15 Uhr, 15.09.2021

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"Versuchs mal damit:
y2=h(1y1)
h beliebig wählbar, in deinem Beispiel h=200."
Ich habe das mal versucht, scheint aber nicht richtig zu funktionieren (oder ich benutze es falsch), Beispiel als Anhang.

Skizze
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Respon

Respon

22:21 Uhr, 15.09.2021

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Das ist aber eine ganz andere Situation als in deiner ersten Zeichnung.
Oder du hast dein Vorhaben unklar formuliert.

user39

user39

22:23 Uhr, 15.09.2021

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Dann habe ich mich wohl unklar ausgedrückt: Ich will von einer beliebigen Skalierung in eine beliebige Skalierung mit jeweils beliebigen Höhen der Koordinatensysteme
user39

user39

22:37 Uhr, 15.09.2021

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"du nimmst jeweils zwei beliebige Punkte der jeweiligen y-Achse. ...."

Auch dieser Ansatz scheint bei einem anderen Beispiel recht große Ungenauigkeiten zu erzeugen. Beispiel ist wieder im Anhang.

Skizze
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Roman-22

Roman-22

03:10 Uhr, 16.09.2021

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> Auch dieser Ansatz scheint bei einem anderen Beispiel recht große Ungenauigkeiten zu erzeugen.
Nein, das sieht nur so aus, weil du fälschlicherweise in deiner rechten Skala die 220 ausgelassen hast!
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

07:41 Uhr, 16.09.2021

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Hallo,

vorausgesetzt, dass immer gleiche Abstände auf der einen Achse auch zu immer gleichen Abständen auf der anderen Achse führen sollen (die jeweils immer gleichen Abstände können auf der einen Achse andere sein als auf der anderen), handelt es sich um eine lineare Abbildung.
In dem Falle ist es vermutlich einfacher (weil aus der Schule bekannt), wenn man die beiden Achsen nicht parallel, sondern orthogonal zeichnet. Die Zuordnungen x:=xalty:=xneu ergeben in diesem Fall nämlich eine Gerade mit einer Gleichung y=mx+b.

Eine Formel für diese Gerade (und damit den Koordinatenwechsel) zu finden, ist eine Aufgabenart, die in einer 7. oder 8. Klasse der Mittelstufe einer Schule erarbeitet wird. Also "common knowledge".

Hast du zwei Koordinatenpaare (in dem Fall kann man auch Punkte sagen) (x1y1) und (x2y2), so ist eine mögliche Form der Umrechnungsgleichung folgende: y=y2-y1x2-x1(x-x1)+y1.

Auf dem angehängten Bild, dass die erste angegebene Situation darstellt, sind die Achsen nicht gleich skaliert!

Mfg Michael

geogebra-export
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