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Punkte in einem bestimmten Abstand bestimmen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Vektoren im Raum

passionfruit aktiv_icon

21:05 Uhr, 06.02.2016

Hallo :-)
Die Frage lautet wie folgt:
Bestimmen Sie drei Punkte, die von der x1x3-Ebene, der

x 2 x 3

Ebene und der Ebene

2 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 8

den Abstand 2 haben.

Ich stehe total auf dem Schlauch und habe nicht mal ansatzweise Ahnung, wie ich hier vorgehen muss...

Vielen Dank für die Hilfe!
Liebe Güße
Layla

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

21:17 Uhr, 06.02.2016

Hallo,
ALLE Punkte der Ebene

x_{2} = 2

haben von der

x_{1} - x_{3}

-Ebene den Abstand 2 (ebenso alle Punkte der Ebene

x_{2} = - 2

.
Analog gibt es je zwei Ebenen mit allen Punkten, die von den

x_{2} - x_{3}

-Ebene den Abstand 2 haben.
Die Ebenen, die die erste Bedingung erfüllen, und die Ebenen, die die zweite Bedingung erfüllen, haben insgesamt 4 Schnittgeraden.
Du musst nun noch die Punkte dieser Schnittgeraden finden, die auch die dritte Bedingung erfüllen.

Die Menge aller Punkte mit der dritten Bedingung liegt ebenfalls in zwei Parallelebenen zur gegebenen dritten Ebene. Wie der Abstand 2 zu erreichen ist - dazu brauchst du einen (normierten) Normalenvektor.

passionfruit aktiv_icon

21:34 Uhr, 06.02.2016

Erst einmal: Danke für die schnelle Antwort!
Der Normalenvektor ist in der Koordinatengleichung enthalten, also:

n (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene müsste man mit der Hesse'schen Formel berechnen können:

d = (x - p) \cdot n = 2

Für

n

könnte ich einfach den Einheitsvektor bilden, aber mir würden

p

und

x

fehlen...

rundblick aktiv_icon

22:11 Uhr, 06.02.2016

.
schreibe für die drei Koordinaten , damit besser lesbar:

x_{1} = x

x_{2} = y

x_{3} = z

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = \vec{x} \cdot \vec{n} - \vec{p} \cdot \vec{n} = 0

........................" aber mir würden

p

und

x

fehlen..."

\to

nein - du hast doch

\to 2 x + 2 y - z - 8 = 0

also

\to \vec{x} \cdot \vec{n} = 2 x + 2 y - z

und

\to \vec{p} \cdot \vec{n} = 8

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

wie gross ist denn nun

\to | \vec{n} | =

?

und damit hast du die HNF

\to

\frac{1}{| \vec{n} |} \cdot [2 x + 2 y - z - 8] = 0

und Punkte mit dem Abstand 2 müssen dann eine dieser beiden Gleichungen erfüllen:

\frac{1}{| \vec{n} |} \cdot [2 x + 2 y - z - 8] = \pm 2

also :
für Punkte

(x; y; z),

die von der Ebene

2 x + 2 y - z - 8 = 0

genau 2 Einheiten entfernt sind gilt:
entweder

z = 2 x + 2 y - 14

oder

z = 2 x + 2 y - 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

zu den beiden anderen Bedingungen für die gesuchten Punkte
empfiehlt es sich vielleicht, so zu überlegen:

1)→ wie gross ist der y-Wert aller Punkte, die 2 Einheiten von der xz-Ebene entfernt sind ?
→(x;±?

; z)

und
2)→ welche x-Werte müssen Punkte haben, wenn sie 2 Einheiten von der yz-Ebene entfernt sind ?
→(±?

; y; z)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

damit hast du dann je drei Gleichungen für

x, y, z

der 8 möglichen Lösungspunkte der Aufgabe
.

passionfruit aktiv_icon

15:01 Uhr, 07.02.2016

@ Rundblick: Danke für die Antwort :-)!
also:
HNF:

(\frac{2 \cdot x + 2 \cdot y - z - 8}{3}) = 2

dh. z=2x+2y−14
und

(\frac{2 \cdot x + 2 \cdot y - z - 8}{3}) = - 2 d . h

z=2x+2y−2
soweit kann ich folgen

1)

der y-Wert aller Punkte, die von der xz-Ebene den Abstand zwei haben, beträgt

y = 2

bzw.

y = - 2

2)

Der x-Wert aller Punkte, die von der yz-Ebene den Abstand zwei haben, beträgt

x = 2

bzw.

x = - 2

Muss ich jetzt einfach die

y -

und

x -

Werte in die Gleichung für

Z

einsetzen?
also:

z = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 14

z = 6

Punkt

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{matrix})

und

z = 2 \cdot - 2 + 2 \cdot - 2 - 14

z = - 22

(\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 22 \end{matrix})

z = 2 \cdot - 2 + 2 \cdot 2 - 14

z = - 14

(\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ - 14 \end{matrix})

usw.
stimmt das?

Femat aktiv_icon

15:08 Uhr, 07.02.2016

ich glaube, du bist auf dem richtigen Weg.
Guck meine Punkte

E

bis

L

rundblick aktiv_icon

15:34 Uhr, 07.02.2016

.
"Muss ich jetzt einfach die y− und x− Werte in die Gleichung für

Z

einsetzen?"

... ... ... ... ... ... ... ... .

. ja - genau so ist es .. ABER:

\to

........................................" also: z=2⋅2+2⋅2−14"

... ... . .

. JA !

z = 6 ... ... ... ... ... ... ... .

. NEIN !

ALSO

: z = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 14 . .

. gibt NICHT

z = 6 . .

. SONDERN

: \to z =

?

usw..sonst bis jetzt ok !
.

passionfruit aktiv_icon

15:30 Uhr, 10.02.2016

Upss... natürlich

- 6

Danke für die ganzen Antworten! Ich habs endlich verstanden :-D)

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