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Punktweise und gleichmäßige Konvergenz ermitteln

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen, gleichmäßige Konvergenz, Grenzwert, Integration, Punktweise Konvergenz

 
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anonymous

anonymous

12:55 Uhr, 02.06.2020

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Ich stehe hier vor einem Problem bezüglich der Ermittlung punktweiser Konvergenzen.
Unabhängig davon, dass sich mir die Bedingung hierfür nicht erschließt, verstehe ich auch nicht, wieso wir gerade so vorgegangen sind.
Weiterhin sollen wir irgendwie mittels Integration auch noch die gleichmäßige ermitteln.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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13:13 Uhr, 02.06.2020

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Hallo,
ich nehme an, da fehlt noch ein Bild?
Dateien dürfen nicht mehr als 500 KBytes groß sein.
Gruß ermanus
anonymous

anonymous

13:55 Uhr, 02.06.2020

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Die Bilder wurden eigentlich beide mehrfach hochgeladen, nachdem es beim ersten Mal nicht funktionierte.

image
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ermanus

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14:36 Uhr, 02.06.2020

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Hallo,

man hat bekanntermaßen t⋅e-t=tet→0 für t→∞ ("die e-Funktion wächst schneller als jede Potenz").

Gruß ermanus
anonymous

anonymous

18:28 Uhr, 02.06.2020

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Gut gut, danke schon mal.
Aber was ich mich prinzipiell noch frage, ist, wieso wir das überhaupt so machen und für t=nx^2 einsetzen.
Ich meine, wenn wir einfach nur die Funktion fn(x)=2nxe^(-nx^2) betrachten, könnten wir doch bereits im Hinblick auf die Annahme, dass e schneller wächst, sagen, dass fn(x) bei lim n->unendlich gegen 0 konvergiert.

Und wenn wir dann für x≠0 einsetzen genauso.
Warum schreiben wir das also überhaupt alles so um?
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ermanus

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12:27 Uhr, 06.06.2020

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Hallo,

bei solchen Limesbetrachtungen muss man sehr vorsichtig sein,
man muss hier schon begrünnden, warum es nichts auszumachen scheint,
dass nx und nx2 verschieden stark wachsen, wenn n→∞.
Z.B. haben limx→0sin(2x)x und limx→0sin(x)x verschiedene Grenzwerte, nämlich 2 und 1.

Gruß ermanus
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michaL

michaL aktiv_icon

14:15 Uhr, 06.06.2020

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Hallo,

bei solchen Aufgaben versucht man zunächst einmal den punktweisen Limes auszurechnen, d.h. man hält x konstant und betrachtet die reelle(n) Folgen fn(x).

Zwar hast du es als Frage aufgeschrieben (in Klammern), aber bei x=0 ist die Sache einfach, da fn(0)=0 stets gilt. Also konvergiert (fn(0))n∈ℕ als konstante Folge gegen Null.

Ist nun x≠0, so habt ihr die folgende schlaue Ersetzung durchgeführt:
fn(x)=2nxe-nx2=2xnx2e-nx2=t:=nx22xte-t.

Klar: mit konstantem x≠0 ist auch 2x konstant.
Mit n→∞ wächst auch t=nx2→∞.
Wegen te-t→0 für t→∞ konvergiert das Produkt fn(x) gegen 0.

(Das sollte deine letzten beiden Fragen beantworten!)

Damit ist der punktweise Limes die Nullfunktion.

Es stellt sich nun die Frage, ob diese (punktweise) Konvergenz gleichmäßig ist. Die Antwort lautet: nein.

Allerdings solltest du erst deine Fragen zum punktweisen Limes beantwortet und verstanden haben.

Mfg Michael
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