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Punktmenge in der komplexe Ebene skizzieren

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Komplexe Zahlen, Skizze einer Menge

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19:53 Uhr, 28.10.2017

Hallo :-)

Sitze vor dieser Aufgabe und komme nicht weiter. Bitte um Hilfe

: (

Also ich soll diese Menge grafisch darstellen.
Mein Ansatz wäre jetzt erstmal den IM-Teil zu vereinfachen.
Da komme ich jedoch schon nicht weiter und was genau ist mein Ziel bei der Umformung?
Vielen Dank und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:57 Uhr, 28.10.2017

{z \in ℂ :

({(\frac{2 z}{1 - i})}^{2}) \leq 2}

Hier nochmal die Aufgabe in Textform :-P)

rundblick aktiv_icon

20:26 Uhr, 28.10.2017

. du hast gut angefangen - aber beim Ausrechnen hast du dann zwei Fehler eingebaut:
- im Nenner fehlt ein Faktor
- im Zähler fehlt bei einem Summanden ein Quadrat

korrigiere das erstmal - was bekommst du dann richtig

\to

?

mach mal soweit..,
.. nachher geht es dann weiter

. .

.

" Ziel bei der Umformung?"

\to

wird sein,

{(\frac{2 z}{1 - i})}^{2}

zuerst in der Form

\to a + b \cdot i

zu bekommen

\to

davon dann der Imaginärteil

\to

Im(a+bi)

= b . .

. (dieses

b

wird von

x

und

y

abhängen..)

\to

dann die sich für die Ungleichung

b \leq 2

ergebende Punktmenge darstellen
fertig.

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20:45 Uhr, 28.10.2017

Danke schon mal, was ist mir denn da Unglückliches passiert :-P)

So jetzt müsste es bis dahin stimmen

\Rightarrow

Muss ich dann mit der konjugierten komplexen Zahl des Nenners erweitern?

rundblick aktiv_icon

20:49 Uhr, 28.10.2017

.. gut so

jetzt erweitere den Bruch noch mit

i . .

. (also Zähler und Nenner mal

\to i)

gibt ->..?....

.. hm? warum geht das mit deiner Antwort so lange?
nun ja - einfach sang- und klanglos zu verschwinden ist wohl nicht die feine Art..
.

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21:26 Uhr, 28.10.2017

Sorry bin da aber wusste nicht das du so nett bist und auf meine Antwort wartest. Sorry!
Bin jetzt voll da, falls du noch da bist :-D)

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21:28 Uhr, 28.10.2017

.
also: wo ist nun deine Antwort ?

.

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21:29 Uhr, 28.10.2017

bin dabei, sekunde :-D)

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21:32 Uhr, 28.10.2017

Sooo, die Klammer hinten hab ich vergessen

\frac{:}{}

edit wäre es besser 4 auszuklammern?

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21:38 Uhr, 28.10.2017

.
zweitletzter Schritt richtig

\to \frac{4 x^{2} i - 8 x y - 4 y^{2} i}{2}

kürze nun mit 2
und sortiere das Ergebnis ( schnell/blitzartig

!!)

nach Real - und Imaginärteil

\Rightarrow ...

?

.

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21:43 Uhr, 28.10.2017

Mhh nachdem Kürzen komme ich nicht weiter

. .

. kannst mir nen kleinen Tipp geben ? Wie bekomme ich das

i

von der 2x² weg?

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21:51 Uhr, 28.10.2017

.
"Wie bekomme ich das

i

von der 2x² weg?"

blöde Idee - du sollst doch das

i

nicht wegzaubern, sondern jeden Summanden des Zählers
durch 2 teilen

\to

\frac{4 x^{2} i - 8 x y - 4 y^{2} i}{2} = 2 x^{2} i - 4 x y - 2 y^{2} i

und dieses Ergebnis sollst du nun ordnen nach Real- und Imaginärteil

(\to a + b \cdot i)

wie sieht dann das

b

aus?

\to .

.
.

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21:54 Uhr, 28.10.2017

Das hatte ich ja gemacht siehe oben

. .

.
aber nachdem Kürzen es in a+bi aufzuteilen fällt mir schwer
wie gehe ich am besten vor?

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22:00 Uhr, 28.10.2017

Mann!

2 x^{2} i - 4 x y - 2 y^{2} i = - 4 x y + 2 x^{2} i - 2 y^{2} i = - 4 x y + (2 x^{2} - 2 y^{2}) \cdot i

welches ist nun der Imaginärteil

b

dieser komplexen Zahl

a + b \cdot i

??

.

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22:06 Uhr, 28.10.2017

−4xy+(2x²−2y²)⋅i

Mhh ok ich glaube ich verstehe. Ich war irgendwie von dem

x

und

y

abgelenkt.
Also dachte irgendwie

y

kann nur imaginär Teil sein und

x

nur reeller Teil sein.
Aber scheinbar ist es trivial.

Dann wäre z=a+bi

a =

-4xy

b =

(2x²-2y²)*i

ah und da die ungleichung sich nur auf den im teil bezieht können wir den rellen Teil ignorieren?

rundblick aktiv_icon

22:12 Uhr, 28.10.2017

.
"b= (2x²-2y²)*i " .. NEIN !

MERKE dir:
der Imaginärteil einer komplexn Zahl ist die rein REELLE Zahl, die als FAKTOR bei der
imaginären Einheit

i

dabei steht

also hier

\to b =

2x²-2y²

Zwischenergbnis für deine Aufgabe ist also nun

\to

Im(((2z)/(1-i))^2)

= 2 x^{2} - 2 y^{2}

wie machst du nun weiter?

.

frozeN aktiv_icon

22:17 Uhr, 28.10.2017

Würde jetzt so weiter auflösen

. .

.
Wie kann ich den Spaß jetzt grafisch darstellen?

: x

rundblick aktiv_icon

22:30 Uhr, 28.10.2017

.
JA

\to x^{2} - y^{2} \leq 1

(und: der letzte Schritt deiner Rechnung ist aber dann grausam falsch)

also zu deiner Aufgabe: du sollst nun in der GaussEbene alle Punkte bunt anmalen,
die diese Ungleichung erfüllen..

und das fängst du mit zwei Schritten an.

mal nur den ersten Schritt:

\to

zuerst die Grenzen mit dem "="

\to x^{2} - y^{2} = 1

einzeichnen.
.. weisst du, auf welcher Kurve mit dieser Gleichung alle diese Punkte in der Ebene herumliegen?
-

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22:37 Uhr, 28.10.2017

→ zuerst die Grenzen mit dem "=" →x2−y2=1 einzeichnen.
.. weisst du, auf welcher Kurve mit dieser Gleichung alle diese Punkte in der Ebene herumliegen?

Wir hätten dann eine Kreisfunktion?

Mhh das wäre dann ein Kreis im Ursprung mit Radius 1?
Dann wären es alle Punkte im Kreis und auf der Kreisfunktion weil kleiner gleich 1 ?

rundblick aktiv_icon

22:48 Uhr, 28.10.2017

.
"Wir hätten dann eine Kreisfunktion?"

. . < -

NEIN

! .

. (es heisst ja nicht

x^{2} + y^{2} = 1)

die Punkte, die die Gleichung

\to x^{2} - y^{2} = 1

erfüllen, liegen auf einer Hyperbel
(schon mal von sowas gehört?)
mach dir eine Zeichnung

\to y = + \sqrt{x^{2} - 1}

und

y = - \sqrt{x^{2} - 1}

\Rightarrow y^{2} = x^{2} - 1

und die Punkte, die die Ungleichung

x^{2} - y^{2} \leq 1

erfüllen liegen dann im "Àusseren" dieser
Hyperbel (dh in dem Teil der Ebene, in dem auch der Ursprung liegt).
du kannst also den entprechenen Teil der Gaussebene bunt anmalen und hast dann die
Aufgabe erfolgreich geschafft ..

ok?
.

frozeN aktiv_icon

23:12 Uhr, 28.10.2017

"Wir hätten dann eine Kreisfunktion?" ..<− NEIN

! .

. (es heisst ja nicht

x 2 + y 2 = 1)

die Punkte, die die Gleichung →x2−y2=1 erfüllen, liegen auf einer Hyperbel
(schon mal von sowas gehört?)
mach dir eine Zeichnung →y=+x2−1−−−−−−√ und y=−x2−1−−−−−−√
⇒y2=x2−1

und die Punkte, die die Ungleichung x2−y2≤1 erfüllen liegen dann im "Àusseren" dieser
Hyperbel (dh in dem Teil der Ebene, in dem auch der Ursprung liegt).
du kannst also den entprechenen Teil der Gaussebene bunt anmalen und hast dann die
Aufgabe erfolgreich geschafft ..

= = \Rightarrow

Ja schon mal davon gehört.
Ich frage mich nur woran ich erkenne das es eine Hyperbel ist? Hatte diese
in Erinnerung

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Kann ich dann davon ausgehen das es bei den komplexen Zahlen x²-y²=1 immer eine Hyperbel ist und x²+y²=1 immer eine Kreisfunktion?

Außerdem verstehe ich wie die Funktion aussieht allerdings wie kann ich sowas einzeichnen?

y = + \sqrt{x^{2} - 1}

und y=−

\sqrt{x^{2} - 1},

also wie kann ich genau daraus die Punkte bestimmen ?
Klar ist,dass die Beschränkung auf der IM Achse bei kleiner gleich 2 liegt.

Wäre Dankbar für weiter Hilfe aber wenn du dich innerlich schon total aufregst passt es auch soweit danke ! :-P) Sorry für die dummen Fragen aber hab gerade angefangen mit dem Thema und würde es gerne komplett verstehen. Vielen Dank nochmal für die Hilfe!

Respon

23:26 Uhr, 28.10.2017

Dass

x^{2} + y^{2} = 1

ein Kreis mit dem Mittelpunkt

(0 | 0)

und dem Radius 1 ist und

x^{2} - y^{2} = 1

eine gleichseitige Hyperbel mit dem Mittelpunkt

(0 | 0)

und den Achsen 1 und 1 ist hat mit den imaginären Zahlen nichts zu tun.
Zeichne

x^{2} - y^{2} = 1

und "erkläre" die y-Achse zur imaginären Achse.

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