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Punktmengen (innere,äußere,Rand,-punkte)

Universität / Fachhochschule

Tags: Punktmengen

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03:29 Uhr, 29.02.2016

Bestimmen ohne Beweis das Innere, den Rand und den Abschluss der folgenden Mengen.

1) M = {(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \in ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} \leq 1} \ {(\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 0 \end{matrix}) : n \in ℕ}

2) M = {(\begin{matrix} sin (t) \\ 2 cos (t) \end{matrix}) \in ℝ^{2} | t \in [0, 4 π]}

3) {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z < 1}

Meine Ansätze:

zu

1)

Ich habe mir

M

gezeichnet. Die Menge ist die Fläche im Inneren des Einheitskreis, zusätztich der Rand vom kreis. Jedoch gehören zur Menge nicht die Punkte entlang der

x -

achse wegen

(\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 0 \end{matrix})

Somit denke ich, dass innere

M =

leere Menge. weil wir bei einer Beliebigen umgebung auf Punkte treffen, die nicht zur Menge gehhören.

Somit denke ich das der Rand=M . Weil wir mit der Umgebung immer Punkte innerhalb und ausserhalb von

M

finden.
=>M=Rand M=Abschluss

M

richtig? falsch?
zu

2)

Das sind ja ganz viele punkte , teilweise unterhalb der

x

achse und teilweise oberhalb.
Ich denke hier sind die Bedingungen genau wie in 1 auch.

Also:
innere

M =

leere Menge , Rand=M=abschluss

zu

3)

ich kann mir die Menge nicht so ganz vorstellen. wie könnt ich es am besten mir vorstellen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:06 Uhr, 29.02.2016

"Jedoch gehören zur Menge nicht die Punkte entlang der x− achse wegen

(1 / n, 0)

"

Nicht alle Punkte entlang der x-Achse, sondern nur die von der Form

(1 / n, 0)

.

"Somit denke ich, dass innere M= leere Menge. weil wir bei einer Beliebigen umgebung auf Punkte treffen, die nicht zur Menge gehhören."

Falsch. Jeder Punkt

(x, y)

aus

M

mit

y > 0

liegt offensichtlich im inneren von

M

. Allgemein besteht das Innere von

M

aus allen Punkten

(x, y)

von

M

, außer

(0, 0)

.

"Das sind ja ganz viele punkte , teilweise unterhalb der x achse und teilweise oberhalb."

Nein, nicht so viele Punkte, das ist eine geschlossen Kurve, man nennt sie Ellipse.

"innere M= leere Menge , Rand=M=abschluss"

Richtig ist es schon, aber ob Du weißt, warum.

"zu 3) ich kann mir die Menge nicht so ganz vorstellen. wie könnt ich es am besten mir vorstellen?)"

Das ist ein Teil der Raumes, eingegrenzt durch ein elliptisches Paraboloid. Allerdings braucht man das nicht unbedingt zu wissen in dieser Aufgabe.

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17:53 Uhr, 29.02.2016

1)

du sagst: innere

= M \ {(0,0)}

So wäre doch

z . b ((\frac{1}{3}),0)

auch im inneren, aber dieser Punkt liegt ja nicht in der Menge, so kann es ja auch nicht im inneren liegen oder?

Die Definition vom inneren Punkt sagt ja, ein Punkt ist innerer Punkt, wenn es in einer Beliebigen Umgebung nur Punkte hat, die ebenfalls im inneren liegen.

Jedoch wenn

(0,0)

schon nicht im inneren liegt, so hat doch jeder Punkt eine Umgebung zu

(0,0)

.
Somit müsste das innere = leer sein?

also wie kommst du auf

M \ {(0,0)}

?

zu

3)

das innere

= M

Rand=

x^{2} + y^{2} + z = 1

Abschluss=

x^{2} + y^{2} + z \leq 1

passt das?

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17:58 Uhr, 29.02.2016

"So wäre doch z.b

(1 / 3, 0)

auch im inneren"

Wiese das denn? Dieser Punkt ist explizit aus

M

ausgeschlossen, daher kann er nicht in

M \ {(0, 0)}

liegen.

"Die Definition vom inneren Punkt sagt ja, ein Punkt ist innerer Punkt, wenn es in einer Beliebigen Umgebung nur Punkte hat, die ebenfalls im inneren liegen."

Lese nochmals die richtige Definition. Was Du schreibst, ist nicht die Definition.

3. ist richtig.

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18:49 Uhr, 29.02.2016

" Wieso das denn?"
Du hast doch gesagt, dass innere von

M = M \ (0,0)

somit ist doch

(\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 0 \end{matrix})

nicht ausgeschlossen im inneren.
genau das hat mich ja verwirrt. der Punkt

(\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 0 \end{matrix})

ist ja laut aufgabenstellung in der Menge ausgeschlossen, aber du hast gesagt das innere von

M

ist ganz

M,

außer

(0,0)

a \in ℝ^{n}

heißt innerer Punk von

M,

falls

r > 0

existiert mit

U_{r} (a) \subset M

.

Das bedeutet doch, dass die

r

Umbgebung von

a,

eine Teilmenge von

M

ist, also auch in M.

laut deiner Aussage gehört zum Biepsiel der Punkt

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

zum inneren.
Eine beliebige

r

Umgebung von dem Punkt ist dann:

U_{r} ((\frac{1}{2}, \frac{1}{2})) = (0,0)

. Aber

(0,0)

ist ja keine Teilmenge von M. Somit könnte doch der Punkt

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

kein innerer Punkt sein.

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19:20 Uhr, 29.02.2016

"Du hast doch gesagt, dass innere von

M = M \ (0, 0)

somit ist doch

(1 / 3, 0)

nicht ausgeschlossen im inneren."

Doch, natürlich ausgeschlossen. Denn

(1 / 3, 0)

liegt nicht in

M

. Kuck nochmals die Definition von

M

. Kein Punkt

(1 / n, 0)

liegt in

M

, daher kein Punkt

(1 / n, 0)

liegt in

M = M \ (0, 0)

.

"aber du hast gesagt das innere von M ist ganz M, außer

(0, 0)

"

Ja, und das stimmt. Denn Punkte

(1 / n, 0)

liegen gar nicht in

M

, also wozu betrachtest Du diese Punkte?

"Eine beliebige r Umgebung von dem Punkt ist dann:"

U_{r} (1 / 2, 1 / 2) = (0, 0)

."

Was soll dass denn bedeuten? Eine Umgebung ist ein Punkt? Echt?
Die Umgebung

{(x, y) : ∣ (x, y) - (1 / 2, 1 / 2) ∣ < 1 / 4}

liegt ganz in

M

, damit ist

(1 / 2, 1 / 2)

ein innerer Punkt.

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20:31 Uhr, 29.02.2016

alles klar habs glaub ich verstanden. Aber muss das innere nicht so sein

: {x^{2} + y^{2} < 1 \ (0,0)}

Dann ist der Rand=

{x^{2} + y^{2} = 1

oder

(\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 0 \end{matrix})

oder

(0,0)}

Abschluss=

{x^{2} + y^{2} \leq 1 \cup (\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 0 \end{matrix}) \cup (0,0)}

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21:00 Uhr, 29.02.2016

Nein. Das Innere ist

{x^{2} + y^{2} < 1} \ ((0, 0) \cup \cup_{n} (1 / n, 0))

Abschluss einfach

{x^{2} + y^{2} \leq 1}

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21:09 Uhr, 29.02.2016

Warum ist jetzt das innere=

M \ (0,0) \cup (\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 0 \end{matrix})

warum kommt

\cup (\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 0 \end{matrix})

dazu?

passt der Rand wie ichs beschrieben habe?

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21:15 Uhr, 29.02.2016

"Warum ist jetzt das innere"

Siehst Du nicht, dass Du etwas Anderes schreibst als ich?
Ich habe nicht

M \ \cup_{n} (1 / n, 0)

, sondern

{x^{2} + y^{2} \leq 1} \ \cup_{n} (1 / n, 0)

geschrieben, und das ist ja

M

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21:16 Uhr, 29.02.2016

Rand ist immer Abschluss minus Innere, da kannst Du selber sehen, was da rauskommt.

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21:36 Uhr, 29.02.2016

Was soll eigtl

\cup_{n}

heißen?? also was soll das kleine

n

?

Für das innere gehört

(0,0)

auch nicht oder? und es muss

x^{2} + y^{2}

kleiner 1 heißen oder? denn du schreibst einmal kleiner gleich und einmal kleiner.

innere=

{

x^{2} + y^{2} < 1 \ ((\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 0 \end{matrix}) \cup (0,0))}

Abschluss

= {x^{2} + y^{2} \leq 1}

Rand

= {x^{2} + y^{2} = 1 \cup ((\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ 0 \end{matrix}) \cup (0,0))}

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22:30 Uhr, 29.02.2016

\cup_{n}

bedeutet Vereinung über

n

. Wie Du das schreibst, ist es einfach nicht korrekt. Entweder wie ich mit dem Vereinigungszeichen oder wie in der Aufgabe mit

: n \in ℕ

(was Vereinigung bedeutet).

Wegen

<

und

\leq

sorry, ich passe nicht immer auf.

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23:06 Uhr, 29.02.2016

Also kann für das inner

M \ (0,0)

nicht stimmen, denn hier wäre gleich 1 auch dabei.

innere

= {M \ (x^{2} + y^{2} = 1 \cup (0,0)}

also außer den Rand und außer

(0,0)

was ja auch ein rand ist.

Abschluss=

{x^{2} + y^{2} \leq 1}

Rand

: {x^{2} + y^{2} = 1 \cup (0,0)}

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08:20 Uhr, 01.03.2016

Ja, Innere und Abschluss sind jetzt richtig. Rand immer noch nicht. Punkte

(1 / n, 0)

gehören zum Rand.

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15:35 Uhr, 01.03.2016

danke verstanden. habe da noch

3,

die stell ich gleich hier.

1) M = ℚ \cap [0,1]

2) M = {(\begin{matrix} t \\ | t | \end{matrix}) \in ℝ^{2} | t \in [- 1, 1]}

3) ⋃_{n = 1}^{\infty} {\frac{1}{n}} \times [0,1] \subset ℝ^{2}

Also:

zu

1)

innere =leere Menge
Rand=M=abschluss.

2)

ich würd die Menge erst einmal als gerade Umschreiben, aber wie kann ich das wegen dem Betrag machen? habe die stelle frei gelassen.

(\begin{matrix} t \\ | t | \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \end{matrix})

3)

verstehe nicht genau wie die Menge im

ℝ^{2}

aussieht, wegen dem

\times

Also

⋃_{n = 1}^{\infty} {\frac{1}{n}}

sind eizelne punkte, die gegen 0 gehen aber nie 0 werden.

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17:03 Uhr, 01.03.2016

1 richtig.

"würd die Menge erst einmal als gerade Umschreiben"

Es ist kein Gerade, sondern zwei Strecken, die im Winkel 90 Grad zueinander stehen.
Eine ist

{(t, t) : t \in [0, 1]}

und andere

{(t, - t) : t \in [- 1, 0]}

"verstehe nicht genau wie die Menge im ℝ2 aussieht, wegen dem ×"

\times

ist Kreuzprodukt, die Menge besteht aus allen Paaren

(\frac{1}{n}, x)

mit

n

aus

ℕ

und

x

aus

[0, 1]

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20:40 Uhr, 01.03.2016

2)

Das sind ja dann lauter punkte im Koordinatensystem, welche oberhalb der

x

achse liegen.

Auch hier ist dann das innere = leere Menge

Rand=M=Abschluss

3)

innere = leere Menge.

Rand= 0 und 1

Abschluss=

M \cup {0,1}

passt das so?

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20:44 Uhr, 01.03.2016

"Rand= 0 und 1"

Du bist in zwei Dimensionen, 0 und 1 sind aber eindimensional, das passt nicht.

2 richtig

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20:57 Uhr, 01.03.2016

Aso die Menge sieht so aus oder:

(\begin{matrix} \frac{1}{n} \\ x \end{matrix}) n \in ℕ, x \in [0,1]

.

Innere= leere Menge

Rand=

M \cup (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) =

Abschluss

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21:24 Uhr, 01.03.2016

Die Schreibweise ist nicht korrekt.
Korrekt kann man es z.B. so schreiben

M \cup 0 \times [0, 1]

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21:37 Uhr, 01.03.2016

Danke habs verstanden.

ich habe noch eine Frage zu Differenzierbarkeit von Reihen, hatte es letztens vergessen zu stellen, ich stells gleich hier:

f (x) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{x^{k}}{k \cdot k!}

wir haben gesagt die ableitung muss gleichmäßig konvergent sein, damit die ausgangsreihe diffbar ist.

f' (x) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{x^{k - 1}}{k!} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x}

e^{x}

divergiert ist unsere Reihe nicht differenzierbar, kann ich das so machen?

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21:38 Uhr, 01.03.2016

open.

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21:43 Uhr, 01.03.2016

"Da

e^{x}

divergiert ist unsere Reihe nicht differenzierbar"

Die Reihe ist sehr wohl diff-bar. Was Du mit "

e^{x}

divergiert" meinst, weiß ich nicht so genau. Aber wir hatte das doch schon. Auf jedem Intervall

[0, n]

gibt's eine Majorante, daher ist die Reihe diff-bar auf

[0, n]

, daher überall, da

n

beliebig.

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21:51 Uhr, 01.03.2016

"Was Du mit "ex divergiert" meinst, weiß ich nicht so genau"

e^{x}

ist geht doch gegen unendlich oder nicht? das mein ich mit divergent.

wie sieht denn deine Majorante zu

\frac{x^{k - 1}}{k!}

aus?

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21:53 Uhr, 01.03.2016

e^{x}

ist geht doch gegen unendlich oder nicht?"

Ja, aber das ist irrelevant.

"wie sieht denn deine Majorante zu xk−1k! aus?"

\sum_{k} \frac{n^{k - 1}}{k!}

ist die Majorante auf dem Intervall

[0, n]

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21:54 Uhr, 01.03.2016

dankeschön :-)

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13:56 Uhr, 02.03.2016

da fällt miir noch was ein:

Die reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k \cdot k!}

ist ja eine potenzreihe.
Bei potenteihen gilt ja

| x - a | < r

so ist die reihe diffbar.

In unserem fall

| x | < 1

so wäre die reihe diffbar.
Dann wäre sie doch aber für

| x | > 1

nicht diffbar ??

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14:04 Uhr, 02.03.2016

Was für Blödsinn Dir immer wieder einfällt. :(
Ich weiß gar nicht, was Du damit meinst.
"Ich habe was gehört" ist keine Grundlage in der Mathematik.
Zeige mir den Satz, auf welchen Du verweisen willst.

Also, meine Antwort: die Reihe ist überall diff-bar, Punkt.

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14:11 Uhr, 02.03.2016

Ich habe das nicht gehört, sondern im Skript gelesen.

Satz: Es sei