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21:52 Uhr, 02.06.2017

Hallo,

wie schätze ich die Parameter n und p bei einer Binominialverteilung? Gibt es dazu eine Formel?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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22:01 Uhr, 02.06.2017

Normalerweise ist

n

bekannt und

p

wird durch

\sum X_{i} / n

geschätzt.

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10:48 Uhr, 03.06.2017

Hmm ich schreib mal die komplette Aufgabe mal rein und mein Vorgehen.

Für einen Versicherungsbestand liegen für die Schadenanzahl pro Risiko und Jahr folgende Daten aus der Vergangenheit vor:
Schadensanzahl: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Vorkommen: 3, 12, 23, 26, 20, 11, 4, 1

Unterstellen Sie, dass die zu Grunde liegende Zufallsvariable einer Binominialverteilung folgt. Bestimmen Sie hierfür Parameter n und p.

Vorgehen:
Laut der Momentschätzung für die Binominialverteilung werden zwei theoretische Momente benötigt:

m_{1} = E (X) = n p

und

m_{2} = V A R (X) = n p (1 - p)

Diese müssen dann jeweils nach n und p aufgelöst werden und erhält somit:

n = \frac{m_{1}^{2}}{m_{1} - m_{2} + m_{1}^{2}}

und

p = \frac{m_{1} - m_{2} + m_{1}^{2}}{m_{1}}

Wo find ich denn in der Aufgabe mein

m_{1}

und

m_{2}

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11:50 Uhr, 03.06.2017

m_{1}

ist wohl der empirische Erwartungwert, also Summe von Anzahl*Vorkommen.

m_{2}

wird dann die empirische Varianz sein, die Formel findest Du im Netz.

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14:00 Uhr, 03.06.2017

Also ist mein "n" 100? Demnach:

E (x) = \sum_{i = 0}^{7} (0 * 3 + . . . + 7 * 1) / 100 = 3, 02

dann hab ich ja n schon und muss ja nur noch nach p umstellen: 3,02=p*100 <=> p=3,02/100

aber dann ist das, was ich zu m_1 und m_2 geschrieben habe ja total unnötig? kommt mir jetzt doch bissle zu einfach vor.

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14:09 Uhr, 03.06.2017

Ne, Du musst schon Deine Formel nutzen.

m_{1} = 3.02

m_{2}

musst Du noch ausrechnen.
Echte

n

und

p

kennst Du nicht,

100

ist nicht echtes

n

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15:29 Uhr, 03.06.2017

bei mir ist im Skript

m_{2}

so definiert:

m_{2} = E (X^{2}) = n p (1 - p) + (n p)^{2}

Die Varianz entsprechend mit

V A R (X) = E (X^{2}) - E^{2} (X) = n p (1 - p)

puuh... ziemlicher Dschungel aus Formeln, aber ich versuchs.

m_{1} = E (X) = 3, 02

m_{1}^{2} = E^{2} (X) = 3, 0 2^{2}

m_{2} = E (X^{2}) = 1 / 100 [(0 * 3)^{2} + . . . + (1 * 7)^{2}] = 18394 / 100 = 183, 94

n = \frac{m_{1}^{2}}{m_{1} - m_{2} + m_{1}^{2}} = \frac{3, 0 2^{2}}{3, 02 - 183, 94 + 3, 0 2^{2}} = - 0, 053

p = \frac{m_{1} - m_{2} + m_{1}^{2}}{m_{1}} = \frac{3, 02 - 183, 94 + 3, 0 2^{2}}{3, 02} = - 56, 887

Irgendwie kann das nicht ganz stimmen. Was hab ich da falsch gemacht?

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15:45 Uhr, 03.06.2017

m_{2}

ist doch nicht

E (X^{2})

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15:52 Uhr, 03.06.2017

Naja so stehts bei uns im Skript. Was ist denn

m_{2}

sonst für die Binominialverteilung? Also ich finds echt voll doof, denn nichtmal in der Formelsammlung steht dazu was brauchbares.

Nachtrag:
Habs jetzt!

I. Zuerst das

m_{1}

berechnen

m_{1} = E (X) = n p = \overline{x} = 1 / 100 (0 * 3 + . . . + 1 * 7) = 3, 02

II. Danach das

m_{2}

berechnen

m_{2} = V A R (X) = n p (1 - p) = V A R = 1 / 100 (0^{2} * 3 + . . . + 7^{2} * 1) = 2, 1396

III. Einfach die berechneten Werte einsetzen, um so die Variablen n und p zu bestimmen

3, 02 (1 - p) = 2, 1396 < = > p = 0, 2915

3, 02 = n * 0, 2915 < = > n = 10, 3594

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