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Punktspiegelung

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Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum

Reflexxiv aktiv_icon

12:21 Uhr, 04.09.2019

Wunderschönen guten Morgen :-)

Ich gehe gerade Altklausuren aus der Linearen Algebra 2 durch und bin über eine Aufgabe gestoßen, die mehrfach vorkommt, bei der ich aber einige Probleme habe sie zu lösen.

Es geht um folgende Aufgabe:

[

Aufgabenstellung steht übersichtshalber im Anhang]

Meine Lösung zu

a) :

i)

Sq(x) ist involutorisch mit:
Sq(Sq(x))

:=

Sq(2q

- x) := 2 q - (2 q - x) = x

ii) Sq(x) ist eine Bewegung mit:
d(Sq(x), Sq(y)) = ||Sq(x) - Sq(y)||

:= | | 2 q - x - (2 q - y) | | = | | y - x | | = d (y, x) = d (x, y)

iii)

p

ist der einzige Fixpunkt mit:
Sq(p)

:= 2 q - q = q

Dies ist insbesondere der einzige Fixpunkt, da für einen beliebigen Fixpunkt a gelten muss:
Sq(a)

:= 2 q - a = a \Leftrightarrow 2 q = 2 a \Leftrightarrow a = q

b) :

Mein Problem war, dass gelten muss:
Sq(x) = τ(S0(τ^(-1)) = τ( τ^(-1)) = id
Für id die Identität. Aber Sq(x) ist doch nicht die Identität, weswegen ich da keinen echten Ansatz zu habe?

Zu

c)

Definition der Normalform ist im Anhang, weiß aber ehrlich gesagt keinen passenden Ansatz hier jetzt fortzufahren..

Hoffe, dass mir jmd so ein bisschen weiterhelfen kann, damit ich die Aufgabe irgendwie gelöst bekomme.
Freue mich über jede Idee :-)

Grüße

Reflexxiv

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

ermanus aktiv_icon

13:16 Uhr, 04.09.2019

Hallo,
zu b): warum soll da

i d

herauskommen?
Du kannst doch nicht einfach den Faktor

S_{0}

weglassen!
Hast du dir hierzu schon mal eine Skizze im

ℝ^{2}

gemacht?
zu c): nimm doch mal das

B_{0}

aus deinem Anhang und quadriere es.
Wenn das die Einheitsmatrix werden soll,
wie ist es dann um die Drehmatrizen

D (θ_{ρ})

bestellt?
Gruß ermanus

Reflexxiv aktiv_icon

14:41 Uhr, 04.09.2019

Hi Ermanus!

Vielen Dank für deine schnelle Rückmeldung :-)

Zu

b) :

Danke für deinem Hinweis, ich hätte gerechnet

S 0 (x) := 2 \cdot 0 + x = x;

richtig müsste es aber heißen

S 0 (x) := 2 \cdot 0 - x = - x

.

Die Skizze dazu müsste die Winkelhalbierende mit Y-Achsenabschnitt

2 q

sein, wobei die ins negativ gerichtete Winkelhalbierende gemeint ist.

Durchs ausprobieren habe ich jetzt τ(x)

:= q - x

gefunden, denn:

i)

τ(x)

:= q - x

ii) τ(x)

:= q - x = y \Leftrightarrow x = q - y \Leftrightarrow

τ^(-1)(x)

:= q - x

iii)

S 0 (x) := 2 \cdot 0 - x = - x

Damit folgt:
τ(S0(τ^(-1)(x))) = τ(S0(q

- x)) =

τ(-(q

- x)) =

τ(x

- q) = q - (x - q) = 2 q - x = :

Sq(x)

Zu

c) :

Wenn ich die im Anhang angegebene Matrix quadriere, muss ich da sich diese in Diagonalform befindet lediglich die einzelnenen Werte quadrieren.
Die Einsen werden zu Einsen, die Minus Einsen zu Einsen, sowie müssen die Drehmatrizen zum Quadrat ebenfalls Einsen entsprechen um eine Einheitsmatrix zu erzeugen.

Dies kann nur der Fall sein, wenn die Drehmatrizen bereits 1 oder

- 1

entsprechen.
Ich schätze mal dass sie alle bereits 1 hätten entsprechen müssen?

Grüße

Reflexxiv

ermanus aktiv_icon

14:52 Uhr, 04.09.2019

Dein

τ

ist "fast" richtig, aber wenn du es dir genauer anschaust,
wirst du sehen, dass es gar keine Translation ist, da es ja die Richtung
von

x

umkehrt. Daher mein Tipp:

τ (x) = x + q

.
Bei den Drehungen musst du gucken, ob das überhaupt geht, wenn

θ_{ρ}

echt (!) zwischen

0

und

π

liegt ...

Reflexxiv aktiv_icon

18:59 Uhr, 04.09.2019

Stimmt, dann wäre die

b)

abgehakt.

Zur

c) :

Ich vermute mal, dass du auf den Satz des Pythagoras hinaus willst.
Ist die im Anhang hinzugefügte Matrix der erste Block? Und wie bestimme ich die Anzahl der Einsen und Minus Einsen?

Grüße

Reflexxiv

ermanus aktiv_icon

19:26 Uhr, 04.09.2019

Ja, so ähnlich sieht ein

D (θ)

aus.
Es muss wohl eher

D (θ) = (\begin{array}{cc} \cos (θ) & - \sin (θ) \\ \sin (θ) & \cos (θ) \end{array})

heißen.
Es ist wahrscheinlich viel einfacher, als du denkst:
Klar ist

D (θ)^{2} = D (2 θ)

. Nun gilt aber

0 < 2 θ < 2 π

.
dann kann aber doch

D (2 θ)

nicht

d i a g (1, 1)

sein.
Verstehst du nun, was ich dir sagen will?

Reflexxiv aktiv_icon

19:39 Uhr, 04.09.2019

Nicht ganz, zu diesem Thema hatten wir relativ wenig Stoff, weswegen ich nicht ganz so gut mit dem Stoff vertraut bin.

Ich glaube, dass du darauf hinaus willst, dass ein solcher Block wie ich ihn angegeben habe in der Regel aussieht, das hier aber bei Punktspiegelungen nicht der Fall sein kann.

Ist die Antwort eventuell diag(-1,

- 1)

?

Grüße

Reflexxiv

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19:44 Uhr, 04.09.2019

In der Aufgabe wird doch gefordert, diejenigen

B_{0}

herauszugucken,
deren Quadrat die Einheitsmatrix ist, also interessieren nur solche

D (θ)

, für die

D (2 θ) = d i a g (1, 1)

ist. Aber wegen

0 < 2 θ < 2 π

ist das doch garnicht möglich, also enthält ein solches

B_{0}

keine
Blöcke der Form

D (θ)

Reflexxiv aktiv_icon

19:55 Uhr, 04.09.2019

Okay gut, das macht Sinn, ist aber auch nur der Fall weil wir hier eine Punktspiegekung vorliegen haben, richtig?

Mein Vorschlag, dass die Normalform gerade diag(-1,

- 1)

sein muss ist auch korrekt sein, oder?

Könntest du mir zur

d)

und

e)

einen hinreichenden Tipp geben, damit ich auch die noch gelöst bekomme?

Grüße

Reflexxiv

ermanus aktiv_icon

20:01 Uhr, 04.09.2019

In c) steht doch garnichts über Punktspiegelungen. Das hat doch garnichts
miteinander zu tun. Da wird nach der Normalform orthogonaler
Matrizen (Transformationen) gefragt, deren Quadrat die Einheitsmatrix ist.
Nach dem, was wir nun herausgefunden haben, sind diese

B_{0}

alle
Diagonalmatrizen, die nur

1

und

- 1

auf der Diagonalen haben.

Reflexxiv aktiv_icon

10:52 Uhr, 05.09.2019

Stimmt, da hast du vollkommen recht.

Könntest du mir bei der

d)

und

e)

noch weiterhelfen, hab dazu echt keinen Ansatz

: (

Grüße

Reflexxiv

ermanus aktiv_icon

11:16 Uhr, 05.09.2019

Zu d):
ich fange mal an: Für eine lineare Abbildung

B

gilt

B x = x

genau dann, wenn

x = 0

oder

x

ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist
(

B x = 1 \cdot x

).
Eine Normalform

B_{0}

B

hat die gleichen Eigenwerte wie

B

und die Dimensionen der zugehörigen Eigenräume stimmen überein.
Wenn

B

orthogonal involutorisch ist, dann hat man gemäß c)

B_{0} = d i a g (1, \dots, 1, - 1, \dots, - 1)

. Die Anzahl der Einsen ist
die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert 1, also die Dimension
des Fixpunktraumes von

B

. Da nun

x = 0

der einzige Fixpunkt sein soll ...
Gruß ermanus

Reflexxiv aktiv_icon

12:34 Uhr, 05.09.2019

Ich würde wie folgt fortfahren:

Da

v = 0

der einzige Fixpunkt ist, entspricht die Dimension des Fixpunktraumes ebenfalls

0,

also insbesondere auch die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert 1.

Damit liegen keine Einsen in der Normalform, weswegen mit der Zuhilfe von Teilaufgabe

c)

die Normalform in diesem speziellen Fall diag(-1,

..., - 1)

lautet. Dies beschreibt gerade eine Punktspiegelung.

Müsste so passen, oder?

Könntest du mir zu

e)

einen ähnlichen Tipp geben?

Grüße

Reflexxiv

ermanus aktiv_icon

13:24 Uhr, 05.09.2019

Ja, so passt es :-)

Also nun zu e):
Es sei

T

eine involutorische Bewegung von

V

mit

q

als einzigem Fixpunkt.
Da

T

eine Bewegung ist, hat

T

bzgl. einer Basis von

V

die Gestalt

T (x) = B x + b

mit einer orthogonalen Matrix

B

und einem Verschiebungsvektor

b

.
Nun gilt nach Voraussetzung

T (q) = q

, also

B q + b = q

, d.h.
der Verschiebungsvektor ist

b = q - B q

.
Damit ergibt sich

T (x) = B x + q - B q = B (x - q) + q

.
Setzen wir nun die Translation

τ (x) = x + q

an, so erhalten wir

T (x) = τ (B (τ^{- 1} (x)))

.
Jetzt müsstest du eigentlich nur noch zeigen, dass

B x = - x = S_{0} (x)

ist für alle

x \in V

.
Dann hättest du gemäß b) alles bewiesen.
Damit du dahin kommst, musst du dir Gedanken über

B

machen ...

Reflexxiv aktiv_icon

14:13 Uhr, 05.09.2019

Alles klar :-)

Meine Fortführung zu

e)

wäre:

Da

B

orthogonal ist, existiert eine reellwertige (nxn)-Matrix

S

mit:

S^{- 1} \cdot B \cdot S = B 0 \Leftrightarrow B = S \cdot

\cdot S^{- 1}

S

orthogonal ist

(d . h

S^{- 1} = S^{T})

folgt:

B = S \cdot B 0 \cdot S^{T} = S \cdot S^{T} \cdot B 0

S

orthogonal gilt

(d . h

S \cdot S^{T} = E,

mit

E

Einheitsmatrix) folgt:

B = S \cdot S^{T} \cdot B 0 = E \cdot B 0 = B 0

Mit Bx

= B 0 x = - x = : S 0 (x)

und Teilaufgabe

b)

folgt die Behauptung.

Das einzige Problem was ich hier noch sehe ist, dass die Matrizen-Multiplikation nicht kommutativ ist. Aber wenn ich das wegargumentiert bekomme sollte das passen schätze ich.

Grüße

Reflexxiv

ermanus aktiv_icon

14:23 Uhr, 05.09.2019

Also ich denke, das Problem liegt nicht so sehr in der Basistransformation
von

B

B_{0}

, sondern vielmehr erst einmal darin, dass
man zeigen muss, dass gilt

T

involutorisch

\Rightarrow B

involutorisch.

Reflexxiv aktiv_icon

15:59 Uhr, 05.09.2019

Ich komme da irgendwie nicht drauf

: (

ermanus aktiv_icon

16:14 Uhr, 05.09.2019

Um 13:24 Uhr hatten wir die Gleichung

T = τ \circ B \circ τ^{- 1} (*)

,
wobei ich die lineare Abbildung

x \mapsto B x

der Einfachheit halber
auch mit

B

bezeichne.
Nun sind

T, B, τ

alles Elemente der Bewegungsgruppe von

V

.
Da wir in einer Gruppe sind, können wir

(*)

umformen in

B = τ^{- 1} \circ T \circ τ

.
Nun folgt

B^{2} = (τ^{- 1} \circ T \circ τ) \circ (τ^{- 1} \circ T \circ τ) = τ^{- 1} \circ T \circ (τ \circ τ^{- 1}) \circ T \circ τ =

= τ^{- 1} \circ T^{2} \circ τ = τ^{- 1} \circ i d \circ τ = i d

, also als Matrix

= I_{n}

(Einheitsmatrix).
Damit ist

B

involutorisch. Da

B

zudem orthogonal ist, wissen wir, dass

B_{0}

eine Diagonalmatrix mit nur 1 und -1 auf der Diagonalen ist.
Nun muss man noch zeigen, dass

B

nur einen Fixpunkt hat,
also

T

hat nur einen Fixpunkt

\Rightarrow

B

hat nur einen Fixpunkt.
...

Reflexxiv aktiv_icon

17:09 Uhr, 05.09.2019

Sei im folgenden

x

der einzige Fixpunkt von

T, d . h, T (x) = x

.

Es gilt mit der Gleichung (☆):

T (x) =

τ(B(τ^(-1)(x)))

\Leftrightarrow B (x) =

τ^(-1)(T(τ(x))) = τ^(-1)(τ(x))

= x

Damit besitzt

B (x)

ebenfalls nur einen Fixpunkt

x

ermanus aktiv_icon

17:25 Uhr, 05.09.2019

Leider kann das nicht so richtig sein.
Du schreibst

τ^{- 1} (T (τ (x))) = τ^{- 1} (τ (x)) = x

.
Warum sollte

T (τ (x)) = τ (x)

sein ?
Vor allen Dingen möchtest du doch darauf hinaus, dass dem einzigen
Fixpunkt

q

von

T

der einzige Fixpunkt

0

von

B

entspricht ...
Denn das sind doch die Spiegelungszentren.

Reflexxiv aktiv_icon

17:30 Uhr, 05.09.2019

Hatte gedacht, dass wegen

T (x) = x

auch T(τ(x)) = τ(x) gelte..

Wie ginge es denn richtig?

ermanus aktiv_icon

17:39 Uhr, 05.09.2019

Ich würde so argumentieren:
Es ist

B \cdot 0 = 0

, d.h.

0

ist ein Fixpunkt von

B

.
Gäbe es nun einen zweiten, etwa

y \neq 0 : B \cdot y = y

.
Dann hätte man mit

x = y + q

T (x) = B (x - q) + q = B y + q = y + q = x

,
also hätte

T

mindestens zwei Fixpunkte, nämlich

q

und

x \neq q

Reflexxiv aktiv_icon

20:42 Uhr, 05.09.2019

Okay verstehe..

Ich bedanke mich recht herzlich bei dir :-D)

Grüße

Reflexxiv

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