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Punktsymmetrie durch unbekannten Punkt berechnen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

item87 aktiv_icon

17:37 Uhr, 25.06.2010

Guten TAg ich brauche hilfe für die punktsymmetrie

ich weiß durch die lösugndas die folgende funktion punktsymmetrisch ist aber wie komme ich darauf durch wleche punkt sie symmetrisch ist

3x³+x²-4/4x²-16

für schnelle hilfe wäre ich dankbar

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

CKims aktiv_icon

17:49 Uhr, 25.06.2010

hast du die aufgabe richtig eingetippt?

denn

3 x^{3} + x^{2} - \frac{4}{4} x^{2} - 16 = 3 x^{3} + x^{2} - x^{2} - 16 = 3 x^{3} - 16

oder ist die aufgabe anders gemeint??

item87 aktiv_icon

17:50 Uhr, 25.06.2010

$\frac{3 x³ + x² - 4}{4 x² - 16}$

ronjamelli aktiv_icon

18:34 Uhr, 25.06.2010

Ich verstehe die aufgabe nich!!!

L . G

item87 aktiv_icon

18:35 Uhr, 25.06.2010

ich verstehe nicht wie ich die punktsymmetrie der funktion bestimmt mit dem punkt um den das ganz speigelt

CKims aktiv_icon

18:57 Uhr, 25.06.2010

sooo... hab jetzt ein bisschen rumgerechnet...

ist verdammt aufwendig das zu berechnen. ist das eine hausaufgabe oder interessiert dich einfach nur wie das geht? ich wuerde so eine aufgabe schon von einem computer ausrechnen lassen.

hier mal der anfang skizziert

punktsymmetrie zum Punkt(a;b)

f (a + x) - b = - f (a - x) + b

f (a + x) = - f (a - x) + 2 b

substituiere

x

mit

x - a

f (x) = - f (2 a - x) + 2 b

formeln einsetzen ergibt

\frac{3 x^{3} + x^{2} - 4}{4 x^{2} - 16} = - \frac{3 {(2 a - x)}^{3} + {(2 a - x)}^{2} - 4}{4 {(2 a - x)}^{2} - 16} + 2 b

\frac{3 x^{3} + x^{2} - 4}{4 x^{2} - 16} = \frac{- 3 {(2 a - x)}^{3} - {(2 a - x)}^{2} - 4}{4 {(2 a - x)}^{2} - 16} + \frac{2 b (4 {(2 a - x)}^{2} - 16)}{4 {(2 a - x)}^{2} - 16}

\frac{3 x^{3} + x^{2} - 4}{4 x^{2} - 16} = \frac{- 3 {(2 a - x)}^{3} - {(2 a - x)}^{2} - 4 + 2 b (4 {(2 a - x)}^{2} - 16)}{4 {(2 a - x)}^{2} - 16}

(3 x^{3} + x^{2} - 4) (4 {(2 a - x)}^{2} - 16) = (- 3 {(2 a - x)}^{3} - {(2 a - x)}^{2} - 4 + 2 b (4 {(2 a - x)}^{2} - 16)) (4 x^{2} - 16)

das muss man jetzt noch alles ausmultiplizieren und dann einen koeffizientvergleich machen. das fuehrt dann zu einem gleichungssystem, dass dann aber relativ einfach zu loesen sein sollte. wenn das aber wirklich eine hausaufgabe sein sollte, gibt es bestimmt noch einen trick wie man das schneller berechnen kann. aber sehe ich diesen trick nicht...

pleindespoir aktiv_icon

19:49 Uhr, 25.06.2010

f (x) = \frac{3 x ³ + x ² - 4}{4 x^{2} - 16}

P_{s y m} = (x_{p} ∣ y_{p})

f (x_{p} + x) + f (x_{p} - x) = y_{p}

u = x_{p} + x

v = x_{p} - x

\frac{3 u ³ + u ² - 4}{4 u^{2} - 16} + \frac{3 v ³ + v ² - 4}{4 v^{2} - 16} = y_{p}

\frac{3 u ³ + u ² - 4}{4 (u^{2} - 4)} + \frac{3 v ³ + v ² - 4}{4 (v^{2} - 4)} = y_{p}

(3 u ³ + u ² - 4) (v^{2} - 4) + (3 v ³ + v ² - 4) (u^{2} - 4) = 4 y_{p} \cdot (u^{2} - 4) (v^{2} - 4)

(3 u ³ + u ² - 4) v^{2} - 4 (3 u ³ + u ² - 4) + (3 v ³ + v ² - 4) u^{2} - 4 (3 v ³ + v ² - 4) = 4 y_{p} \cdot (u^{2} - 4) (v^{2} - 4)

(3 u ³ v^{2} + u ² v^{2} - 4 v^{2}) - (12 u ³ + 4 u ² - 16) + (3 u^{2} v ³ + u^{2} v ² - 4 u^{2}) - (12 v ³ + 4 v ² - 16) = 4 y_{p} \cdot (u^{2} - 4) (v^{2} - 4)

3 u ³ v^{2} + u ² v^{2} - 4 v^{2} - 12 u ³ - 4 u ² + 16 + 3 u^{2} v ³ + u^{2} v ² - 4 u^{2} - 12 v ³ - 4 v ² + 16 = 4 y_{p} \cdot (u^{2} - 4) (v^{2} - 4)

3 u ³ v^{2} - 12 u ³ + 3 u^{2} v ³ + u ² v^{2} + u^{2} v ² - 4 u ² - 4 u^{2} - 12 v ³ - 4 v^{2} - 4 v ² + 16 + 16 = 4 y_{p} \cdot (u^{2} - 4) (v^{2} - 4)

3 u ³ v^{2} - 12 u ³ + 3 u^{2} v ³ + 2 u ² v^{2} - 8 u ² - 12 v ³ - 8 v^{2} + 32 = 4 y_{p} \cdot (u^{2} - 4) (v^{2} - 4)

... seh auch keinen Trick ...

item87 aktiv_icon

23:43 Uhr, 25.06.2010

Guten Tag,

wow das ist ja ziemlich kompliziert ich brauche das zum lernen schraube in der uni am mittwoch eine klasur und da müsste ich so eine kurve diskutieren.

gibt es keine allgemeine form wie ich den punkt berechnen kann?

und dann noch eine frage kann ich mit der asymptoten als quasi wenn ich eine polynomdivision mache den ober teil durch den unteren teil kann ich mit dem ergebnis die weiteren abletiungen machen? also gar nicht mit dem ausgansterm?sondern quasi mit der asymptotw

pleindespoir aktiv_icon

00:07 Uhr, 26.06.2010

Der Trick könnte sein, dass man nicht die komplette Funktion in die Umformungswaschmaschine steckt, sondern anhand besonderer Punkte - Extrema, Wendepunkte, etc. zu suchen, wo der Symmetriepunkt ungefähr sein konnte.

Zwei antagonistische Extrema mit Gerade verbinden - da muss der Punkt sich drauf versteckt halten - vermutlich ziemlich in der Mitte zwischen den beiden ...

Probe machen und Du brauchst nicht die komplette Woche, um die Symmetrie zu bestimmen.

item87 aktiv_icon

09:34 Uhr, 26.06.2010

gut dann muss ich wahrscheinlich anders darauf kommen!

was sagst du denn zu den ableitungen?und zu den asymptoten?

hagman aktiv_icon

10:17 Uhr, 26.06.2010

Richtiger Ansatz.
Der Nenner hat genau zwei Nullstellen:

x = 2

und

x = - 2,

bei denen es sich um Polstellen der Funktion handelt.
Das Symmetriezentrum

(x_{p}, y_{p})

des Funktionsgraphen muss auch Symmetriezentrum der Gesamtheit aller vertikalen Asymptoten sein, also gilt zumindest

x_{p} = 0

.
Da außerdem

f (x_{p}) = y_{p}

gelten muss (da zum Glück

x_{p}

selbst keine Polstelle ist), folgt

y_{p} = \frac{1}{4}

.
Jetzt ist das noch zu überprüfen: Gilt für alle

x \in ℝ,

dass

f (- x) = \frac{1}{2} - f (x)

?

Man hätte sich das Leben auch leichter machen können durch leichte Umformung:

\frac{3 x^{3} + x^{2} - 4}{4 x^{2} - 16} = \frac{3 x^{3}}{4 x^{2} - 16} + \frac{x^{2} - 4}{4 x^{2} - 16} = \frac{3 x^{3}}{4 x^{2} - 16} + \frac{1}{4}

Der Bruch ist dabei von der Formungerade Funtion durch gerade Funktion, also ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung). Das

+ \frac{1}{4}

verschiebt dann dieses Symmetriezentrum einfach nach oben.

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