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Punktweise Konvergenz einer Reihe

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Funktionenfolgen

Funktionenreihen

Tags: Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Punktweise Konvergenz, Wurzelkriterium

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15:19 Uhr, 23.08.2024

Hallo ich wollte eigentlich nur fragen ob meine Rechnung so ausreichend ist um die punktweise Konvergenz zu zeigen. Ich habe die Aufgabe angehangen.

Mein Weg ist:

G = l i m_{k - > \infty} \frac{\sqrt{2 x * (k - 1)}}{1 + x^{2}}

(also k-te Wurzel)
Daraus folgt dann , dass der Zähler gegen 1 konvergiert also :

G = \frac{1}{1 + x^{2}} < = 1

Die Funktion gegen die g_n also punktweise konvergiert ist:

g = {\begin{array}{ll} 0, x = 0 \\ & \\ 1, x > 0 \end{array}

Ist das so richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

HAL9000

15:44 Uhr, 23.08.2024

Soll das heißen, dass du meinst

g (x) := lim_{n \to \infty} g (x) \overset{?}{=} 1

für alle

x > 0

? Das ist falsch.

Eine kleine Nebenrechnung: Für

q \neq 1

sowie

m \geq 1

gilt unter mehrfacher Nutzung der Partialsummenformel der geometrischen Reihe

\sum_{k = 1}^{n} (k - 1) q^{k} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k - 1} q^{k} = \sum_{j = 1}^{n - 1} \sum_{k = j + 1}^{n} q^{k} = \sum_{j = 1}^{n - 1} \frac{q^{j + 1} - q^{n + 1}}{1 - q} = \frac{q^{2} - n q^{n + 1} + (n - 1) q^{n + 2}}{{(1 - q)}^{2}}

.

Angewandt auf

q = \frac{1}{1 + x^{2}}

ergibt das für

x \neq 0

g_{n} (x) = \frac{2}{x^{3}} [1 - \frac{n}{{(1 + x^{2})}^{n - 1}} + \frac{n - 1}{{(1 + x^{2})}^{n}}]

,

was letzlich zu

g (x) = \frac{2}{x^{3}}

für alle

x \neq 0

führt.

P.S.:

g (0) = 0

ist allerdings richtig.

chadd aktiv_icon

16:05 Uhr, 23.08.2024

Ich bin mir nicht sicher was genau falsch ist, in der Lösung wurde ähnlich zu mir argumentiert aber ohne eine konkrete Funktion zu nennen. Da wurde mit dem Majorantenkriterium auch 1 als obere Schranke gezeigt. Was ist da der Unterschied zu meiner Lösung? Ich habe es angehängt.

story aktiv_icon

22:10 Uhr, 23.08.2024

Der Unterschied ist, dass die Antwort von HAL9000 auch direkt die Grenzfunktion mitliefert, während die Musterlösung nur die Aussage trifft, dass die Funktionenreihe überhaupt (gegen irgendeine) Grenzfunktion konvergiert.

Wenn du nur Letzteres zeigen möchtest, könntest du auch direkt das Quotientenkriterium anwenden: Hält man

x \in [- 1, 1]

(

x \neq 0

) fest, so gilt:

lim_{n \to \infty} \frac{f_{n + 1} (x)}{f_{n} (x)} = lim_{n \to \infty} \frac{2 x \cdot n (1 + x^{2})^{n}}{2 x \cdot (n - 1) (1 + x^{2})^{n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{n - 1} \frac{1}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}} < 1

,

und daraus folgt die Konvergenz der Funktionenreihe in

x

chadd aktiv_icon

23:21 Uhr, 23.08.2024

Also ist bis auf meine letztendliche Funktion alles richtig?

trancelocation aktiv_icon

06:38 Uhr, 24.08.2024

Zu deiner konkreten Frage.

Du hast korrekterweise versucht, das Wurzelkriterium anzuwenden, aber deine Rechnung enthält Fehler:

Da

x

auch negativ sein kann, musst du unter der Wurzel Beträge benutzen. Außerdem muss die

k

-te Wurzel auch explizit hingeschrieben werden:

\frac{\sqrt[k]{2 ∣ x ∣ (k - 1)}}{1 + x^{2}} \overset{k \to \infty}{\overset{}{\to}} = \frac{1}{1 + x^{2}} = G

Jetzt kommt dein nächster Fehler:

Um Konvergenz aus dem Wurzelkriterium zu schließen, muss

G < 1

und nicht

G \leq 1

gelten.
D.h., per Wurzelkriterium erhältst du zunächst punktweise Konvergenz für

∣ x ∣ \neq 0

, da dann

\frac{1}{1 + x^{2}} < 1

gilt.

Den Fall

x = 0

musst du also gesondert behandeln: Einsetzen von

x = 0

zeigt, dass hier auch Konvergenz vorliegt.

In der Aufgabe wird nicht nach der Grenzfunktion gefragt. Es ist hier zwar möglich, die Grenzfunktion explizit zu berechnen, aber oft ist das bei Funktionenreihen nur schwer oder gar nicht möglich.

Hier aber ein schneller Weg für die Grenzfunktion über die geometrische Reihe:

Setze

q = \frac{1}{1 + x^{2}}

. Wegen

\sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}

gilt (Reihe ableiten):

\frac{1}{(1 - q)^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} k q^{k - 1} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{\infty} (k - 1) q^{k} = \frac{q^{2}}{(1 - q)^{2}} = \overset{q = \frac{1}{1 + x^{2}}}{=} \frac{1}{x^{4}}

für

x \neq 0

Damit ist die Grenzfunktion

g (x) = 2 x \cdot \frac{1}{x^{4}} = \frac{2}{x^{3}}

für

x \neq 0

und

g (x) = 0

für

x = 0

chadd aktiv_icon

11:19 Uhr, 24.08.2024

Vielen Dank für die Antworten :-)

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