Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen

Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

Fliege aktiv_icon

23:20 Uhr, 15.03.2019

Hallo zusammen,

ich stehe bei einer Aufgabe zu Funktionenfolgen und punktweiser Konvergenz auf dem Schlauch. Es geht um die Funktionenfolgen cn und dn auf dem Bild. Ich habe mir die Graphen für verschiedene

n

angeschaut.

Bei cn bin ich mir an einigen Stellen unsicher: Für

x = 0

konvergiert die Folge gegen 1. Für alle

x

ungleich 0 gilt ja |cos(nx)|

\leq 1

. Für

x

mit |cos(nx)|

< 1

ist es eine geometrische Folge, die gegen 0 konvergiert. Für

x

mit |cos(nx)|

= 1

konvergiert die Folge gegen 1. Ich habe versucht, die Werte

x

zu bestimmen, für die cos(nx)

= 1

ist, bin aber nicht weiter gekommen. Allgemein ist ja

| cos (k \cdot π + \frac{π}{2}) | = 1

. Also hab ich gerechnet

k \cdot π + \frac{π}{2} =

\Leftrightarrow x = \frac{k}{n} \cdot π + \frac{π}{2 n}

. Aber darf denn

x

von

n

abhängen? Das träfe ja dann auch auf die

x

mit |cos(nx)|

< 1

zu... Steht das nicht im Widerspruch zu punktweiser Konvergenz?

dn ist divergent/nicht punktweise konvergent gegen eine Funktion. Leider finde ich überhaupt keine brauchbare Formulierung dafür; lande bei den Grenzwertberechnungen immer nur bei unbestimmten Ausdrücken wie

\infty - \infty

oder

\infty \cdot 0 . .

. liegt ja sicher daran, dass die Sinus-Funktion beschränkt ist, aber divergent. Bei dn handelt es sich ja ganz grob gesagt um eine um

n

gestreckte sin-Funktion... aber wie formuliere ich das mathematisch elegant und korrekt? Genügt es, den Limes aufzuschreiben und die Limes-Rechenregeln auf dn anzuwenden und zu sagen, dass für alle

x

ein unbestimmter Ausdruck entsteht, der mit L'Hôpital nicht aufgelöst werden kann und deshalb die Funktionenfolge für alle

x

divergiert?

Würd mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge hilft. Vielen Dank schon mal und viele Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

23:26 Uhr, 15.03.2019

Hallo,

die Lösung ist sehr einfach. Siehe Bild!

Mfg Michael

Fliege aktiv_icon

23:29 Uhr, 15.03.2019

Danke für die extrem schnelle Antwort - aber welches Bild?
Ich konnte meines gerade auch nicht hochladen...

Fliege aktiv_icon

19:04 Uhr, 16.03.2019

Obwohl es einfach ist, komme nicht drauf... hab Tomaten auf den Augen.

Könntest du bitte nochmal das Bild hochladen? Oder kann mir jemand anderes wenigstens einen Tipp geben?

Würd mich echt freuen...

Fliege aktiv_icon

12:10 Uhr, 18.03.2019

Hallo,

die Funktionenfolge cn ist mittlerweile gelöst. Für

x = π

ist das ganze divergent...

Aber bei dn finde ich noch immer keine geeignete Umformulierung...

Hat den wirklich niemand sonst eine Idee? Würde mich über Hilfe wirklich freuen...

Fliege aktiv_icon

14:02 Uhr, 18.03.2019

Ok, ich habe eine Idee für die letzte Teilaufgabe

d . .

. ich glaube, man kann zeigen, dass die Funktionenfolge gegen die stetige Funktion

f (x) = 0

konvergiert. Wenn ich

n \cdot (sin ... .)

umstelle zu

\frac{n}{\frac{1}{sin (... .)}}

habe ich mit

n

und mit

\frac{1}{sin (...)}

zwei Funktionen, die gegen unendlich gehen, dh. ich darf L'Hôpital anwenden. Leite ich nun ab, komme ich auf 1 geteilt durch

- 1

geteilt durch ein Produkt^2 mit viel sin und

cos,

das gegen 0 geht. Also geht -1/(besagtes Produkt^2) gegen unendlich. Und damit geht 1/(-1/besagtes Produkt^2) gegen 0. Und zwar für alle

x

. Stimmt das ganze in der Theorie? Ich glaube, dass passt auch zur Funktion. Weil je größer ich

n

wähle, desto näher kommt der erste sin-Term dem zweiten, dh der Teil mit sin geht gegen 0. Dann ist egal, wie ich

n

wähle, es gibt dann immer 0.

Stimmt das so?

HAL9000

14:24 Uhr, 18.03.2019

Es ist

lim_{n \to \infty} d_{n} (x) = 2 x \cos (x^{2})

. Nachweisen kann man das auf verschiedene Weisen, z.B. den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, oder aber durch vorherige Umformung von

d_{n} (x)

mit Additionstheoremen und anschließende Nutzung von

lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{t} = 1

Fliege aktiv_icon

15:22 Uhr, 18.03.2019

Endlich eine Antwort, vielen Dank :-D)!

Also, ich habe den Weg mit

2 x

Additionstheorem versucht und bin auf folgendes gekommen:

dn(x)

= n \cdot (sin (x^{2}) \cdot (cos (2 \cdot \frac{x}{n}) \cdot cos (\frac{1}{n^{2}}) - sin (2 \frac{x}{n}) \cdot sin (\frac{1}{n^{2}})) + cos (x^{2}) \cdot (sin (2 \frac{x}{n}) \cdot cos (\frac{1}{n}) + sin (\frac{1}{n}) \cdot cos (2 \frac{x}{n}))

Dafür hab ich jetzt den Limes bestimmt:

lim n \to \infty (cos (\frac{1}{n^{2}})) = lim n \to \infty (cos (2 \frac{x}{n})) = lim n \to \infty (cos (\frac{1}{n})) = 1

lim n \to \infty (sin (\frac{1}{n^{2}})) = lim n \to \infty (sin (2 \frac{x}{n})) = lim n \to \infty (sin (\frac{1}{n})) = 0

Jetzt könnte ich

lim n \to \infty

dn(x) vereinfachen zu:

lim n \to \infty

dn(x)

= n \cdot sin (x^{2})

Darauf wende ich jetzt L'Hôpital an, aber da komme ich nicht mehr weiter und bekomme nicht mehr das gleiche wie Du raus:

lim n \to \infty n \cdot sin (x^{2}) = lim n \to \infty \frac{n}{\frac{1}{sin (x^{2})}} = lim n \to \infty \frac{1}{- 1} / {(2 x \cdot cos (x^{2}))}^{- 2} = - {(2 x \cdot cos (x^{2}))}^{2}

Was mache ich falsch? Ich verstehe leider nicht, warum du

t

gegen 0 gehen lässt und nicht mehr gegen unendlich... Warum muss das hier wechseln? Ich hab's oben jetzt halt gegen

\infty

gehen lassen. Auch dachte ich, ich muss nur nach

n

ableiten und

x

als konstant betrachten.

Viele Grüße!

HAL9000

15:51 Uhr, 18.03.2019

Eine solche Termorgie hatte ich nicht im Sinn. Nein, einfach

\sin (u) - \sin (v) = 2 \cos \frac{u + v}{2} \sin \frac{u - v}{2}

auf

u = {(x + \frac{1}{n})}^{2}

und

v = x^{2}

anwenden ergibt

d_{n} (x) = 2 \cos (x^{2} + \frac{x}{n} + \frac{1}{2 n^{2}}) \cdot n \sin (\frac{x}{n} + \frac{1}{2 n^{2}})

.

Der erste Term konvergiert aus Stetigkeitsgründen gegen

2 \cos (x^{2})

, beim zweiten bekommt man wegen

t := \frac{x}{n} + \frac{1}{2 n^{2}} \to 0

den Grenzwert

lim_{n \to \infty} n \sin (\frac{x}{n} + \frac{1}{2 n^{2}}) = lim_{n \to \infty} n (\frac{x}{n} + \frac{1}{2 n^{2}}) \cdot lim_{t \to + 0} \frac{\sin (t)}{t} = x

Fliege aktiv_icon

16:27 Uhr, 18.03.2019

Ok, danke :-D). Ich denke, ich hab's begriffen :-D).

HAL9000

16:28 Uhr, 18.03.2019

Möglicherweise sagt dir ja auch der Alternativweg über den Mittelwertsatz (MWS) eher zu:

Man wendet diesen MWS

g (b) - g (a) = (b - a) \cdot g ʹ (a + θ (b - a))

auf die Funktion

g (t) = \sin (t^{2})

sowie

a = x

und

b = x + \frac{1}{n}

an. Dabei ist das

θ

wie üblich im Sinne von "existiert ein solches

θ \in (0, 1)

mit..." zu lesen, und dieses

θ

hängt durchaus von

x

und

n

ab. Es ergibt sich

g (x + \frac{1}{n}) - g (x) = \frac{1}{n} g ʹ (x + \frac{θ}{n})

, mithin daher

d_{n} (x) = g ʹ (x + \frac{θ}{n}) \to g ʹ (x) = 2 x \cos (x^{2})

für

n \to \infty

Fliege aktiv_icon

16:45 Uhr, 18.03.2019

Cool, danke. Das muss ich mir mal in Ruhe anschauen... wir haben den Mittelwertsatz nur bewiesen, das anschauliche Standardbeispiel gesehen, und

1 x

den Satz für einen Beweis angewendet... hab mir immer irgendwie mehrere Anwendungsbeispiele von dem Satz gewünscht, weil ich ihn irgendwie nicht ganz eingängig fand. Aber Zeit, mich selber damit zu befassen hatte ich bislang nicht. Deshalb bin ich da nicht besonders firm drin... hoffe, ich verstehe den Satz besser, wenn ich den Beweis von dir durchgehe.

1462631

1462245

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?