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Punktweise und gleichmäßige konvergenz

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

Melli-Gruber aktiv_icon

11:48 Uhr, 28.04.2019

a)

Die Funktionenfolge fn : Di →

R

sei für

n

∈

N

deﬁniert durch fn(x)

:= x^{n}

. In der Vorlesung haben Sie bereits gesehen, dass fn für

D 0 := [0,1]

punktweise gegen die Funktion

f : D 0

→R mit

f (x) = 0,

für 0 ≤

x < 1, 1,

für

x = 1

konvergiert, jedoch nicht gleichmäßig. Entscheiden und beweisen Sie jeweils, ob die Folge für die folgenden Deﬁnitionsbereiche Di punktweise oder gleichmäßig konvergiert und geben Sie gegebenenfalls die Grenzfunktion an.
(i)

D 1 := [0,1)

(ii)

D 3 := [\frac{0,1}{2})

(iii)

D 4 := [1,5)

Bei

i)

würde ich sagen dass sie gegen

f (x) = 0

punktweise konvergiert, da

lim x^{n}

für alle

x

aus

D

ja gegen 0 konvergiert.
Beweis zur gleichmäßige Konvergenz: Sei

ε = \frac{1}{3}

. Mit dem zwischenwertsatz folgt ja dass es ein fn(x)=1/2 geben muss. Dann ist |fn-f|=|x^n|=1/2>1/3=epsilon und somit nicht gleichmäßig Konvergent.

Bei ii) habe ich auch das es punktweise und nicht glm ist

Bei iii) habe ich dass es keine grenzfunktion gibt und dass es somit eben weder glm noch punktweise konvergenz ist. Stimmt das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."