Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Pyramide Berechnung

Pyramide Berechnung

Universität / Fachhochschule

Tags: masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment

gonnabeph aktiv_icon

14:30 Uhr, 06.01.2015

Hallo, ich habe die Aufgabe:

Gegeben ist eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche der Kantenlängen

a_{0}

und

b_{0}

und der Höhe

h_{0}

. Die Dichte des Pyramidenmaterials ist

ρ = ρ_{0} = c o n s t

.

a) Bestimmen Sie die Masse M der Pyramide durch Integration über das Volumen.
b) Berechnen Sie die Position des Schwerpunkts der Pyramide
c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Pyramide bei der Drehung um die Achse, die durch Schwerpunkt und Spitze der Pyramide verläuft.

Meine Ideen:

a)Ich muss bestimmen

m = ρ \int_{V} d V

Nun dachte ich mir ob ich das Volumen nicht über kartesische Koordinanten integrieren soll? Dann hätte ich:

m = ρ \int_{V} d V = ρ \int_{_}^{h_{0}} \int_{b_{0} / 2}^{- b_{0} / 2} \int_{a_{0} / 2}^{- a_{0} / 2} d x d y d z

Allerdings ist mir dann aufgefallen das sich durch die Grenzen quasi alles wieder aufhebt.

Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

DerDepp aktiv_icon

15:50 Uhr, 06.01.2015

Hossa :-)

Du bist auf dem richtigen Wege. Jedoch musst du bei den Integrationsgrenzen etwas aufpassen. Auf der Grundebene fährst du mittels der x- und der y-Koordinate das gesamte Rechteck ab, also

x \in [- a_{0} / 2; + a_{0} / 2]

und

y \in [- b_{0} / 2; + b_{0} / 2]

. Auf der Höhe

z \in [0; h_{0}]

reduziert sich jedoch die Größe des abzufahrenden Rechtecks. Die Randwerte von x und y hängen also von der Höhe z ab. Konkret gilt hier:

0 \leq z \leq h_{0}; - \frac{a_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}}) < x < + \frac{a_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}}); - \frac{b_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}}) < y < + \frac{b_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})

Die Masse der Pyramide bei konstanter Dichte

ρ_{0}

ist daher:

M = \int_{0}^{h_{0}} d z \int_{- \frac{a_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})}^{+ \frac{a_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})} d x \int_{- \frac{b_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})}^{+ \frac{b_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})} d y ρ_{0}

Die Integrale über

d x

und

d y

lassen sich sofort hinschreiben:

M = \int_{0}^{h_{0}} d z ρ_{0} a_{0} (1 - \frac{z}{h_{0}}) \cdot b_{0} (1 - \frac{z}{h_{0}}) = ρ_{0} a_{0} b_{0} \int_{0}^{h_{0}} {(1 - \frac{z}{h_{0}})}^{2} d z

Da die Grenzen der x- und y-Koordinaten von z abhängen, muss die Integration über z als letzte erfolgen:

M = ρ_{0} a_{0} b_{0} {[- \frac{h_{0}}{3} {(1 - \frac{z}{h_{0}})}^{3}]}_{0}^{h_{0}} = \frac{1}{3} ρ_{0} a_{0} b_{0} h_{0}

Die anderen Integrale kannst du unter Beachtung der Grenzen genauso ausrechnen.

Ok?

gonnabeph aktiv_icon

17:01 Uhr, 06.01.2015

Hallo DerDepp,

das ist ja quasi schon die Komplettlösung für a). Ich habe dazu allerdings noch einige Fragen.
Wie kommst du auf

(1 - \frac{z}{h_{0}})

? Ich meine kann man das sich das auch geometrisch herleiten oder ist das ein Trick den man einfach kennen muss? Wenn ich mir das so überlege scheint dieser Trick bei vielen Problemen anwendbar zu sein?!... :-)
Wenn ich mir allerdings

\frac{a_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})

versuche vorzustellen dann muss es ja eine Fläche ergeben. Das Integral darüber gibt dann quasi die Summation über alle Flächenstücke an und damit auch das Volumen. Kann ich mir das so klar machen?

Das ausrechnen scheint nicht das Problem zu sein sondern eher die Herleitung.
Also gilt dann für die a)

m = \frac{1}{3} ρ_{0} a_{0} b_{0} h_{0}

Nun zu der b)
Für den Schwerpunkt gilt:

\vec{r_{C M}} = \frac{1}{M} \int \vec{r} d m

Dies lässt sich transformieren mit

d m = ρ d V

also gilt:

\vec{r_{C M}} = \frac{1}{M} \int \vec{r} d m = \frac{1}{M} \int_{V} ρ \vec{r} d V = \frac{ρ}{M} \int_{V} \vec{r} d V

Alternativ könnte man auch die jeweiligen Komponenten einzeln bestimmen mit:

x_{C M} = \frac{1}{M} \int x d m = \frac{1}{M} \int_{V} x ρ d V = \frac{ρ}{M} \int_{V} x d V

und für

y, z

analog.

Nun kann ich das ganze wieder in kartesischen Koordinaten betrachten also:

= \frac{ρ}{M} \int_{V} x d V = \frac{ρ}{M} \int_{0}^{h_{0}} \int_{- \frac{b_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})}^{\frac{b_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})} \int_{- \frac{a_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})}^{\frac{a_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})} x d x d y d z

Soweit korrekt? Jetzt müsste ich noch das

x

anders darstellen.

Danke dir! :-)

ledum aktiv_icon

00:45 Uhr, 07.01.2015

hallo
sie formel für die Breite in Höhe

z

liest du aus dem Strahlensatz an einem Schnitt durch die Pyramide ab. wenn du statt

(1 - \frac{z}{h_{o}}

schreibst

\frac{h_{0} - z}{h_{0}}

siehst du es sofort-

\frac{b}{b_{0}} = \frac{h - z}{h}

also kein Trick!
den

S \in x

und

y

Richtung muss man aus Symmetriegrümden nicht berechnen, da er auf der Symmetrieachse liegt, wie in jedem Rechteck-

Gruß ledum

DerDepp aktiv_icon

00:58 Uhr, 07.01.2015

Hossa :-)

Zu dem "Trick" mit dem Strahlensatz hat ledum ja schon geantwortet.

Die Formel für den Schwerpunkt stimmt, auch dein letztes Integral ist korrekt. Du kannst nun die Integration über x durchführen, dann über y und zum Schluss über z. Es ist jedoch physikalisch klar, dass der Schwerpunkt auf der z-Achse liegen muss (Symmetrie). Die x- und y-Koordinate des Schwerpunktes sind also gleich 0. Daher reicht es, wenn du seine z-Komponente bestimmst...

:-)

gonnabeph aktiv_icon

17:09 Uhr, 07.01.2015

Hallo DerDepp,
ich habe jetzt die a) einmal selber nachgerechnet und ich komme auf ein etwas anderes Ergebnis. Ich erhalte

m = \frac{1}{2} ρ a_{0} b_{0} h_{0}

.

mein letztes Integral lautet

\int_{0}^{h_{0}} a_{0} b_{0} - \frac{a_{0} b_{0}}{h_{0}} z d z

Habe ich irgendwo einen Fehler eingebaut?

Ok, die b) werde ich gleich einmal durchrechnen. Nun zu der c). Für das Trägheitsmoment gilt:

I = \int r^{2} d m

. Dies lässt sich zu einem Volumenintegral transformieren mit:

I = \int r^{2} d m = ρ \int_{V} r^{2} d V

Das Integral scheint mir nicht einfach zu lösen sein da man einen Ausdruck für

r^{2}

angeben muss. Die Transformation nach Kugel oder Zylinderkoordinaten bringt hier ja auch nichts also muss man wohl oder übel versuchen das

r^{2}

anders auszudrücken. Wie stellt man denn sowas an? Ich dachte mir dazu das der Radius der Pyramide davon abhängig ist auf welcher Höhe man sich quasi befindet. Je weiter man sich entlang der z-Achse bewegt desto kleiner müsste der Radius

r

werden. Also muss der Radius eine Abhängigkeit von

z

besitzen. Soweit korrekt?

Danke dir! :-)

DerDepp aktiv_icon

11:55 Uhr, 08.01.2015

Hossa gonnabeph :-)

Das Volumen einer Pyramide ist 1/3 mal Grundfläche mal Höhe. Daher hast du wohl irgendwo in deiner Rechnung einen Fehler. Wo genau du den Fehler eingebaut hast, kann ich dir ohne die Rechnung natürlich nicht sagen.

Bezüglich der Berechnung des Trägheitsmoments bei der Drehung um die z-Achse (Symmetrieachse), musst du dir klar machen, dass in der Formel

r

der senkrechte Abstand zur Drehachse ist, streng genommen müsste man also schreiben:

I = \int_{M} r_{⊥} d m = \int_{V} r_{⊥} ρ_{0} d V

Die Grenzen beim Volumenintegral sind dieselben wie oben. Der senkrechte Abstand des Punktes

\vec{r} = (x, y, z)

von der z-Achse ist

r_{⊥} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

. Zusammengebaut ergibt sich das Integral:

I = ρ_{0} \int_{0}^{h_{0}} d z \int_{- \frac{a_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})}^{+ \frac{a_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})} d x \int_{- \frac{b_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})}^{+ \frac{b_{0}}{2} (1 - \frac{z}{h_{0}})} d y \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Ok?

gonnabeph aktiv_icon

15:45 Uhr, 08.01.2015

So, die a) ist nun klar. Da habe ich mich verrechnet. Bei der b) erhalte ich:

z_{C M} = \frac{1}{12} h_{0}

bei der c) müsste es dort nicht

r^{2}

heißen? Dann würde man doch das Integral

I = \int \int \int (x^{2} + y^{2}) d x d y d z

erhalten. Die Grenzen sie die Gleichen wie bei a) und b).
Passt das?

Gruß! :-)

DerDepp aktiv_icon

16:01 Uhr, 08.01.2015

Hossa :-)

Ja, du hast natürlich recht, es muss

r_{⊥}^{2}

heißen. Dadurch wird das Integral auch wesentlich einfacher, weil du nicht über

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

integrieren musst, sondern über

(x^{2} + y^{2})

.

Sorry, aber gut, dass du es noch vor der Rechnung gemerkt hast ;-)

gonnabeph aktiv_icon

19:26 Uhr, 08.01.2015

Also die b) passt?
Das Integral ist wirklich unschön bei der c). Wenn ich mich nicht verrechnet habe komme ich auf ein Trägheitsmoment von:

I_{z} = m \cdot \frac{a_{0}^{2} + b_{0}^{2}}{20}

Kann das stimmen?

Vielen Dank! :-)

ledum aktiv_icon

17:48 Uhr, 09.01.2015

Hallo
Stimmt genau!
Gruß ledum

gonnabeph aktiv_icon

20:03 Uhr, 09.01.2015

Alles klar, ich danke euch beiden.
Bis zum nächsten mal.

gonnabe

1209469

1208705

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?