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Pyramidenaufgabe

Schüler Gymnasium,

Tags: komplexere Aufgabe, Pyramide

anonymous

17:15 Uhr, 08.09.2015

Halli hallo alle zusammen,
hier ist die Aufgabe:

,,Ein ägyptischer Pharao möchte eine gerade quadratische Pyramide bauen lassen, bei der die Längen von
Höhe, Grundkante und Seitenkante ganzzahlige Vielfache von

10

Königsellen

(1

Königselle

\approx 0,524 m)

sein sollen. Außerdem verlangt er, dass die Faktoren, mit denen die Vielfachen gebildet werden, drei aufeinanderfolgende Zahlen sind.

Man stelle fest, ob dies möglich ist. Wenn ja, geben Sie die Längen von Höhe, Grundkante und Seitenkante für alle derartigen Pyramiden an.
Beachten Sie außerdem, dass die Höhe nicht unbedingt die kleinste und die Seitenkante die größte Länge hat."

Im Anhang habe ich euch das geschickt, wie weit ich gekommen bin.

Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.

NeymarJunior

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

abakus

19:41 Uhr, 08.09.2015

Hallo NeymarJunior,
s>h gilt auch ohne die 30 vorangestellten Gleichungen.
s, h und die halbe Diagonalenlänge bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s.
Also ist s größer als h.
Damit sind die Fälle
s>a>h, a>s>h und s>h>a möglich.
Wenn wir den Faktor 10 weglassen und alles auf die Länge a beziehen, sind a, s und h in einer der drei Reihenfolgen aufeinander folgende Zahlen.
In diesen Fällen gilt s=a+1 oder s=a-1 oder s=a+2.
In diesen Fällen gilt auch h=a-1 oder h=a-2 oder h=a+1.
Dann gilt mit d²=2a² (also (d/2)²=0,5a²) je nach Fall
0,5a²+(a-1)²=(a+1)² oder 0,5a²+(a-2)²=(a-1)² oder 0,5a²+(a+1)²=(a+2)².

anonymous

21:50 Uhr, 08.09.2015

Grüß dich, Gast62,
eine Frage: Als Bedingung hast du ja aufgestellt, dass

s > h

.
Kann ich noch aus der Gleichung

s^{2} = 0,5 a^{2} + h^{2}

eine Bedingung rausfiltern?
Denn bei der Gleichung

h^{2} = s^{2} - 0,5 s^{2}

ist entweder

s > a

oder

s < a

(was nicht wirklich hilfreich ist, denn ist es im Kontext der Aufgabe klar). Was meinst du?

Ansonsten führe ich deinen Lösungsansatz weiter und melde mich dann.

abakus

21:54 Uhr, 08.09.2015

"ist entweder s>a oder s<a"

Ja, diese beiden Möglichkeiten gibt es, und damit gibt es insgesamt 3 mögliche Fälle für die Reihenfolge von s und h und a.
Da lässt sich nichts Vereinfachendes herausfiltern.

Roman-22

22:03 Uhr, 08.09.2015

Du musst doch nur die drei von Gast2 angegebenen quadratischen Gleichungen auf positive und ganzzahlige Lösungen untersuchen.
Alternativ kannst du bei den drei Fälllen jeweils für die kleinste Länge

n,

für die mittlere

n + 1

und für die größte dann

n + 2

einsetzen und die quadratische Gleichung

(h^{2} + 0,5 \cdot a^{2} = s^{2})

lösen. Der Pharao kann glücklich gemacht werden, wenn sich dabei eine positive ganzzahlige Lösung einstellt und das ist genau einmal der Fall.

R

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22:29 Uhr, 08.09.2015

Evtl. mal einen zusätzlichen Blick hierauf:
de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel

Roman-22

23:12 Uhr, 08.09.2015

>

Evtl. mal einen zusätzlichen Blick hierauf:

>

de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel
Ich mag mich irren, aber ich denke, dass das hier vermutlich nicht so viel bringt, da eine Zahl des pythagoreischen Tripels hier eben keine ganze Zahl ist, sondern mit

a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

sogar eine irrationale Zahl.

Aber die (einzige) Lösung für die Pyramidenabmessungen ist mit

h = 70, a = 80

und

s = 90

auch wie beschrieben recht schnell gefunden.

R

Stephan4

19:39 Uhr, 09.09.2015

Ist nicht auch

h = 140, a = 160

und

s = 180

eine mögliche Lösung?

Oder

[1] h = 7 n, a = 8 n

und

s = 9 n,

wobei

n = 1,2,3,4, . .

.

Denn wegen des gleichen Abstandes gilt

[2] s = h + 2 (a - h) = 2 a - h

also in

[3] h^{2} + \frac{a^{2}}{2} = s^{2}

eingesetzt gibt

[4] h^{2} + \frac{a^{2}}{2} = {(2 a - h)}^{2} = 4 a^{2} - 4 a h + h^{2}

daher

[5] \Rightarrow a = \frac{8}{7} h

und

s = \frac{9}{7} h

was zu

[1]

führt.

:-)

Roman-22

19:43 Uhr, 09.09.2015

>

Ist nicht auch

h = 140, a = 160

und

s = 180

eine mögliche Lösung?
Nein, denn

14,16,18

sind nicht, wie gefordert, aufeinanderfolgende Zahlen.

anonymous

20:22 Uhr, 09.09.2015

ad Stephan4: Zum ersten Teil hat ja Roman-22 geantwortet.
Aber wie kommst du auf

s = h + 2 (a - h)

? Ich sehe es nicht gerade. ;-)

Stephan4

20:49 Uhr, 09.09.2015

s

ist

h

und die doppelte Differenz von a und

h

.

Ich bin davon ausgegangen, dass der Abstand zwischen den Werten gleich ist, aber auch größer als 1 sein kann.

:-)

anonymous

20:54 Uhr, 09.09.2015

Entweder stehst du auf dem Schlauch oder ich tue es. ;-)
Also

s^{2} = 0,5 a^{2} + h^{2}

.

Wie kommst du dann auf deine Formel? Du hast ja selber gesagt, dass a und

h

nicht gleich groß sein können (siehe Aufgabenstellung).

Stephan4

21:53 Uhr, 09.09.2015

Auf welche Formel?
Meinst Du

[1]

? Wenn ja:
Hab ich doch um

20 : 49

geschrieben.
Wenn zB

h = 20

und

a = 24,

also um 4 größer, dann ist

s

um weitere 4 größer, oder um 8 größer als

h

.

:-)

anonymous

20:49 Uhr, 10.09.2015

ad Roman-22:
Verstehst du, was Stephan4 meint?
Denn die drei Zahlen müssen aufeinanderfolgend sein (wie du völlig richtig angemerkt hast).
Und wie kommt er auf

s = h + 2 (a - h)

?
Meiner Meinung nach ist die Formel falsch.

Roman-22

21:03 Uhr, 10.09.2015

>

Verstehst du, was Stephan4 meint?
Nicht so wirklich. Allerdings habe ich mir seine Ausführung nicht näher angesehen.
Soweit ich sehe hat er nur versucht, zu zeigen, dass mit

h = 7, a = 8

und

s = 9

auch alle entsprechenden Vielfachen davon Lösung sind. Das muss allerdings nicht gezeigt werden, da das trivialerweise so ist, denn die entsprechenden Pyramiden wären ja zwangsläufig zueinander ähnlich, wenn man alle Längen gleichermaßen mit demselben Faktor multipliziert.
Und dass, wenn drei Zahlen wie

7,8,9

jeweils den "Abstand" 1 zueinander haben, dann die Zahlen, die sich ergeben, wenn man alle mit dem gleichen Faktor

n

multipliziert, wieder gleich weit voneinander entfernt liegen (nämlich im Abstand

n),

ist auch nicht wirklich überraschend.
Die "Formel", über die ihr euch da unterhalten habt, scheint speziell auf Werte, die gleiche Differenz zueinander haben, zugeschnitten zu sein und dient offenbar nur dazu, zu zeigen, dass die multiplizierten Werte wieder gültige (bis auf die Forderung "aufeinanderfolgend") Maße für eine solche Pyramide sind. Wie gesagt, eine Aussage, die im Grunde selbstverständlich ist. Aber vielleicht irre ich mich und Stephan4 möchte das richtig stellen.

R

Stephan4

23:13 Uhr, 10.09.2015

Du hast natürlich recht, Roman.

Ich habe die Angabe "aufeinanderfolgende Zahlen" anders interpretiert (wie schon

20 : 49

Uhr,

09.09.2015

erwähnt).

Dann berichtige ich meinen Lösungsweg folgendermaßen:

h^{2} + \frac{a^{2}}{2} = s^{2}

{(a - 1)}^{2} + \frac{a^{2}}{2} = {(a + 1)}^{2}

a^{2} - 2 a + 1 + \frac{a^{2}}{2} = a^{2} + 2 a + 1

a = 8

:-)

anonymous

23:41 Uhr, 11.09.2015

Hallo,
ich habe euch mal meinen Ansatz als Datei hochgeladen. Was meint ihr?
Mich hat zum Beispiel gestört, dass

s = 9

bei der Rechnung rauskommen sollte, deshalb habe ich es zwar ähnlich, aber dann doch ein bisschen anders gemacht. :-) Denn es muss

s = 90

sein.

Danke im Voraus an alle, die sich daran bemühen!

anonymous

20:00 Uhr, 12.09.2015

Könntet ihr mir bitte weiterhelfen? :-)

Roman-22

22:37 Uhr, 12.09.2015

Das wurde hier doch schon alles durchgekaut.
Und dass du den Faktor

10

fürs erste mal ignorieren kannst, wurde auch schon gesagt. Warum als das ganze so kompliziert aufblähen? Wenn du dann ein mögliches Tripel

(a, h, s)

gefunden hast, bei dem alle Werte ganzzahlig und aufeinanderfolgend im Abstand 1 sind, dann ist JEDES Vielfache davon auch ein mögliches Angabtripel für eine ähnliche Pyramide - spezielle eben auch das Zehnfache, das dann die Lösung darstellt.

Also nochmals: Sicher ist nur

h < s

. Die Gleichung

\frac{a^{2}}{2} + h^{2} = s^{2}

muss zB für die drei Fälle

h = a + 1

und

s = a + 2 (d . h

. für

a < h < s)

oder

h = a - 1

und

s = a + 1 (d . h

. für

h < a < s)

oder

h = a - 2

und

s = a - 1 (d . h

. für

h < s < a)

gelöst werden und wenn du einmal ganzzahlige Lösungen für a bekommst

\to

Bingo.
Ich habe da oben alle Größen auf a bezogen. Die Wahl war willkürlich und hätte genau so gut auch auf

h

oder

s

fallen können.

R

anonymous

19:55 Uhr, 13.09.2015

Vielen Dank an alle für eure Geduld!
Ich habe jetzt genau das raus, was auch da hattest, Roman-22.

NeymarJunior

abakus

15:21 Uhr, 23.09.2015

Ist eigentlich keinem aufgefallen, dass NeymarJunior unsere Hilfsbereitschaft missbraucht hat, um sich von uns eine Aufgabe der aktuellen Matheolympiade lösen zu lassen?

Stephan4

22:19 Uhr, 23.09.2015

Ich helfe gerne.

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