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Pythagoräische Tripel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Primzahl, Pythagoras, Satz des Pythagoras, Tripel

heini93 aktiv_icon

20:19 Uhr, 31.01.2012

Ich habe eine Frage zu pythagoräischen Tripel.

Jeder kennt den Satz des Pythagoras:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Bei einem pythagoräischen Tripel

(a, b, c)

sind alle drei Zahlen

a,

bund

c

aus der Menge der natürliche Zahlen. Beispiele wären

(3,4,5)

oder

(5,12,13)

. Ich habe mich näher mit diesen Tripeln beschäftigt und habe festgestellt, dass zu einer gegebenen Hypotenusenlänge

c

nicht immer ein passendes Tripel gefunden werden kann. So kann man bei

c = 17

zwei passende Kathetenlängen ermitteln

(a = 8; b = 15),

bei

c = 18

findet man jedoch keine ganzzahligen Lösungen für a und

b

.

Ich habe eine Vermutung für ein Schema, nach dem man für ein gegebenes

c

entscheiden kann, ob man dazu ganzzahlige a und

b

finden kann:
Wenn eine natürliche Zahl

c

ein ganzzahliges Vielfaches einer Primzahl

p

der Form

p = 4 k + 1

ist, dann gibt es für die Gleichung

a^{2} + b^{2} = c^{2}

ganzzahlige Lösungen.

Mein Problem ist, dass ich diese Vermutung nicht beweisen kann. Ich habe alle Zahlen bis

100

ausprobiert und bisher noch keinen Fall gefunden, der auf diese Vermutung nicht zutrifft, doch das ist natürlich kein Beweis.
Mir wäre sehr geholfen, wenn mir jemand diese Vermutung beweisen könnte oder mir auch nur Anstöße für einen Beweis geben könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Satz des Pythagoras
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

heini93 aktiv_icon

15:49 Uhr, 03.02.2012

Also ich hab inzwischen bewiesen, dass sich alle Vielfachen einer Primzahl der Form

p = 4 k + 1

als

c

bei einem pythagoräischen Tripel verwenden lassen. Trotzdem schaff ich es nicht zu widerlegen, dass es für alle anderen Zahlen nicht geht.

hagman aktiv_icon

23:26 Uhr, 03.02.2012

Es ist "bekannt":
Eine natürliche Zahl

c

kann genau dann die Hypothenuse eines primitiven pythagoräischen Tripels bilden (also eines Tripels, bei dem der ggT von

a, b, c

Eins ist), wenn jeder Primfaktor von

c

die Form

p = 4 k + 1

hat.

Am besten lässt sich dies beweisen, wenn man mit den komplexen Zahlen

ℂ

rbeitet, hier genauer mit der Menge

ℤ [i],

das sind diejenigen komplexen Zahlen, bei denen Real- und Imaginärteil ganz sind.

ℤ [i]

bildet eine ähnliche Struktur wie die normalen gazen Zahlen

ℤ

(einen Ring).
Es gibt dort sogar etwas entsprechendes zu Primzahlen. Und zwar sind in

ℤ [i]

prim genau folgende Zahlen (jeweils bis auf Multiplikation mit

\pm 1

ooder

\pm i) :

- Die herkömmlichen Primzahlen

p

der Form

p = 4 k + 3

- zu jeder Primzahl der Form

p = 4 k + 1

zwei konjugiert komplexe Zahlen Zahlen

π_{1} = u + i \cdot v

und

π_{2} = u - i \cdot v,

wobei

u, v

die Eigenschaft

u^{2} + v^{2} = p

haben (das bedeutet auch

π_{1} \cdot π_{2} = p, d . h

p

selbst ist plötzlich zerlegbar)
- als Sonderfall gehört zur herkömmlichen Primzahl 2 nur eine

ℤ [i]

-Primzahl, nämlich

1 + i

. Es gilt

{(i + i)}^{2} = 2 i

.

Der Zusammenhang zu pythagoräischen Tripeln ergibt sich dadurch, dass

a^{2} + b^{2} = c^{2}

dasselbe bedeutet wie

(a + b \cdot i) \cdot (a - b \cdot i) = c^{2}

. Jeder Primfaktor

π

von

a + b \cdot i

entspricht einem Primfaktor

\bar{π}

von

a - b \cdot i

.
Für die Primzahlen der ersten Art (also

p = 3, 7, 11, 19, ...)

ist

\bar{π} = π = p

und man findet, dass

a

und

b

beide durch

p

teilbar sind (und natürlich auch

c)

.
Für Primzahlen der zweiten Art ist

\bar{π} \neq π

. Es folgt dass

c^{2}

und damit auch

c

durch

p = π \bar{π}

teilbar ist; daher ist

c^{2}

sogar durch

p^{2} = π^{2} {\bar{π}}^{2}

teilbar, und diese Faktoren kann man so aufteilen, dass

a

und

b

nicht beide zu Vielfachen von

p

werden, nämlich

π^{2}

als Teiler von

a + b i

und

{\bar{π}}^{2}

als Teiler von

a - b i

.
Beispielsweise gibt es zu

p = 5 \in ℤ [i]

die konjugierten Primzahlen

2 + i

und

2 - i :

Es ist

(2 + i) \cdot (2 - i) = 5

{(2 + i)}^{2} = 3 + 4 i

liefert das berühmte Tripel

(3,4,5)

.

Aber tatsächlich zu zeigen, dass zu jedem

p = 4 k + 1

eine ösung von

u^{2} + v^{2} = p

existiert, ist nicht ganz trivial.

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