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Q-Vektorraum
Universität / Fachhochschule
Tags: dimension, Linear Abbildung, linear unabhängig, Vektorraum
 
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Die Aufgabe: In dieser Aufgabe betrachten wir den Q-Vektorraum R. Das es sich hierbei um einen Vektorraum handelt dürfen Sie ohne Beweis verwenden. Sind die Vektoren Wurzel Wurzel 3 im Q-Vektorraum linear abhängig oder un- abhängig? (ii) Was ist die Dimension von als Q-Vektorraum? Wie soll ich dabei vorgehen. Mir sind zwar die Definitionen klar, aber ich weiss nicht, wie ich das im Fall für zeigen soll... |
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"(i) Sind die Vektoren 1, Wurzel 2, Wurzel 3 im Q-Vektorraum R linear abhängig oder un- abhängig?" Die Frage ist: kann sein, obwohl nicht alle Null sind? "(ii) Was ist die Dimension von R als Q-Vektorraum?" math.stackexchange.com/questions/6244/is-there-a-quick-proof-as-to-why-the-vector-space-of-mathbbr-over-mathbb |
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Also bei der muss das dann linear abhängig sein, oder? Bei der (ii) habe ich leider Probleme die Erklärung zu verstehen |
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"Also bei der (i) muss das dann linear abhängig sein, oder?" Nein. Sie sind nicht linear abhängig. Aber es wird indirekt bewiesen. Man nimmt an, dass solche existieren und zeigt, dass sie alle sein müssen. "Bei der (ii) habe ich leider Probleme die Erklärung zu verstehen" Was genau verstehst du nicht? |
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Also die Dimension ist ja die Anzahl der Elemente einer Basis. Nun haben wir ja (unabzählbar) und (abzählbar) gegeben. Also muss die Dimension von als q-Vektorraum endlich sein, oder? Nun weiss ich nicht, wie ich genau angebe, was die Dimension ist... |
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"Also die Dimension ist ja die Anzahl der Elemente einer Basis." Richtig. "Nun haben wir ja R (unabzählbar) und Q (abzählbar) gegeben. Also muss die Dimension von R als q-Vektorraum endlich sein, oder?" Nein, im Gegenteil. Wenn die Dimension endlich wäre, dann würde abzählbar sein. Weil dann wäre gleich , also . Und endliche kartesische Produkte von abzählbaren Mengen sind abzählbar. Aber da nicht abzählbar ist, sehen wir, dass die Dimension nicht endlich sein kann. |
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Wie würde der indirekte Beweis denn aussehen? Ich komme da nicht wirklich auf einen Anfang |
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Ich hab es doch oben schon geschrieben. |
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Du hast geschrieben, dass es solche abc geben muss. Reicht das etwa schon? |
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Ach so, deine Frage bezieht sich auf i)? Das musst du doch sagen. Nein, dann muss man bisschen rechnen. => => => => =>. Rechts steht eine rationale Zahl und links eine irrationale, solange . Das geht nicht, also muss sein. Also oder . Jetzt getrennt die Fälle und betrachten und ähnlich weiter rechnen. Das Ziel ist zu zeigen, dass alle Null sein müssen. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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