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Quader, Länge Raumdiagonalen, Schnittwinkel

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Skalarprodukt

Tags: Skalarprodukt

dan18 aktiv_icon

00:33 Uhr, 09.02.2009

Guten Abend,

nun sitze ich hier und versuche eine Mathematikaufgabe zu lösen.
Zunächst möchte ich bemerken, dass ich absolut Mathematik unbegabt bin bzw. mich dafür nicht wirklich zu begeistern weiß.
Nun wure ich leider zu einer Aufgabe verdonnert, mit der ich überhaupt nichts anfangen kann. Somit bitte ich vielmals um Hilf.
Die Aufgabe lautet: Ein Quader ist 6 cm breit, 8 cm lang und 3 cm hoch.
Nun soll zunächst die Länge seiner Raumdiagonalen berechnet werden.
Als nächstes soll der Winkel berechnet werden, unter dem sich je 2 der 3 Raumdiagonalen schneiden.
Dies wäre die Aufgabe und ich bitte darum mir einen ausführlichen Rechen- respektive Lösungsweg mitzuteilen, damit ich ihn für weitere Aufgaben dieser Art parat habe.
Viele Dank im Voraus.

P.s.:-D)ie Raumdiagonale lässt sich doch aus der Wurzel aus

a 2 + b 2 + c 2

berechnen, oder???
Und der Winkel cosalfe

= a x b :

betrag

a x

betrag

b

Aber der gesamte Rechenweg bitte, ich hab keinen Plan!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Edddi aktiv_icon

08:25 Uhr, 09.02.2009

1. Es gibt 4 Raumdiagonalen der Länge:

l = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

Alle 4 Diagonalen schneiden sich in der Mitte bei

\frac{l}{2} .

Jeweils 2 Diagonalen liegen in einer Ebene und enden an den Eckpunkten einer Kante.

Daraus ergeben sich 6 gleichseitige Dreiecke (jeweils 2 Gleiche) mit 3 unterschiedl. Winkeln.

Jedes gleichschenklige Dreieck besteht aus 2 rechtw. Dreiecken.

Hier gilt

\frac{α}{2}

=arcsin

(\frac{\frac{a}{2}}{\frac{l}{2}}) =

arcsin

(\frac{a}{l})

und damit:

α = 2 \cdot

arcsin

(\frac{a}{l})

analog für

β

und

γ :

β = 2 \cdot

arcsin

(\frac{b}{l})

γ = 2 \cdot

arcsin

(\frac{c}{l})

...schau mal die Skizze, die ich dir angehangen hab'

:-)

dan18 aktiv_icon

15:40 Uhr, 09.02.2009

herzlichen dank für die antwort,

ich weiß es hört sich unglaublich an, aber welche zahlen muss ich nun bei dieser aufgabe einsetzen
danke

Edddi aktiv_icon

15:46 Uhr, 09.02.2009

...das hört sich wirklich unglaublich an...

a = 6

b = 8

c = 3

Das sind deine 3 Seitenlängen

l = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

hier rechnest du deine Diagoanle aus (Es sind ja alle 4 Diagonalen gleich lang)

l = \sqrt{6^{2} + 8^{2} + 3^{2}} = \sqrt{36 + 64 + 9} = \sqrt{109}

:-)

dan18 aktiv_icon

17:21 Uhr, 09.02.2009

folglich sind die raumdiagonalen des quaders die wurzel aus

109

lang??

dan18 aktiv_icon

17:25 Uhr, 09.02.2009

und die schnittwinkel berechnet man wie gesagt, doch was bedeutet

arcsin
Das heißt doch einfach der winkel von sinus oder?

Könntest du mir noch einmal die Winkel samt Zahlen zeigen.
Ich weiß Schande auf mein Haupt, aber herzlichen Dank.

dan18 aktiv_icon

22:51 Uhr, 09.02.2009

Also um es noch einmal zusammenzufassen sind die raumdiagonalen des quaders die wurzel aus

109

lang??

Und die berechneten Winkel lauten wie???
Danke

chuckweirdo aktiv_icon

22:58 Uhr, 09.02.2009

der tag lautet skalarprodukt. dabei fällt mir ein, dass du das auch mithilfe der vektorrechnung berechnen könntest.

mit der formel für den flächeninhalt eines dreiecks:

A = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} \cdot b^{2} - {(a \cdot b)}^{2}}

wobei a und

b

jeweils vektoren sind (weiß nicht, wie der pfeil überm buchstabe geht)

du musst also aus deinem quader zwei dreieecke machen und deren flächeninhalt addieren! :-)

Edddi aktiv_icon

07:11 Uhr, 10.02.2009

Um den Winkel zu berechnen, unter denen sich die Diagonalen schneiden brauchst du nunmal Winkelfunktionen.

Die Umkehrfunktion von sinus ist der arcsinus.

Bsp.:
sin(45°)=1/sqrt(2)
also ist
45°=

\frac{Π}{4} =

arcsin

(\frac{1}{\sqrt{2}})

Für deine Aufgabe:

Die Diagonalen von den Eckpunkten der Kante a schneiden sich unter dem Winkel:

α = 2 \cdot

arcsin

(\frac{a}{l})

α = 2 \cdot

arcsin

(\frac{6}{\sqrt{109}}) = 2 \cdot 35,078 . .

. = 70,156...°

β = ... .

γ = ...

dan18 aktiv_icon

10:12 Uhr, 10.02.2009

Gut danke verstanden und die Formel für die Raumdiagonalen eines Quaders ist gegeben oder wie kommt man darauf?????
Danke

BjBot aktiv_icon

10:58 Uhr, 10.02.2009

Mit Pythagoras.

Edddi aktiv_icon

10:59 Uhr, 10.02.2009

...hallo DAN18...

Du hast doch schon in deinem allerersten Beitrag die Formel für die Raumdiagonale richtig gehabt (auch wenn sie komisch dargestellt war)...

:-)

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