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Quadrat einer Funktion

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Tags: Funktion

 
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montarenbici

montarenbici aktiv_icon

21:26 Uhr, 11.06.2019

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Es sei f eine Funktion, die abbildet. Gilt im Allgemeinen, dass (f(x))2=f2(x) ist? Meine Intention sagt nein, allerdings habe ich kein Beispiel gefunden, wo dies nicht erfüllt ist. Also falls dies nicht gilt, wäre ich um ein Gegenbeispiel sehr froh.

Und dann hatte ich noch folgende Überlegung: f2(x)=f(x)f(x)=(f(x))2, das würde also ja schon bedeuten, dass es kein Gegenbeispiel gibt, aber ich bin mir eben nicht sicher, ob da mein Gedanke richtig ist.

Danke für Eure Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Roman-22

Roman-22

21:38 Uhr, 11.06.2019

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Wie ist f2(x) denn definiert??
Bei benannten Funktionen wie sin oder ln besagt die Norm, dass man abkürzend für zB (sin(x))2 auch sin2(x), ja sogar sin2x schreiben darf. Dafür darf man für diese benannten Funktionen, bei welchen auch die Umkehrungen eigene Namen haben, keinesfalls die Hochzahl -1 für die Umkehrung verwenden. Vielmehr bedeutet zB sin-1x=1sinx. Wenn man die Umkehrung meint, muss man zwingend arcsin schreiben (auch, wenn sich die TR-Hersteller nicht dran halten).

Bei einer allgemeinen Funktion f(x) aber wird f-1(x) für die Umkehrung verwendet und andere "Potenzen" wie zB f2(x) sind überhaupt nicht definiert und daher unzulässig! Man muss also für f(x)f(x) zwingend (f(x))2 oder auch (gleichbedeutend, aber von manchen als irreführend betrachtet) f(x)2.

f2(x) gibts also gar nicht, es sei denn man definiert es extra für diese Aufgabe.
Natürlich ist es trotzdem möglich, dass man in der Literatur die Schreibweise f2(x) abkürzend für f(x)2 (ist eigentlich keine Abkürzung) findet, weil der Autor der Meinung ist, die Bedeutung wäre ohnedies klar und eine Verwechslung wäre ausgeschlossen, weil er eh keine Hochzahl -1 in seiner Abhandlung verwendet. Oder aber er glaubt, dass fn(x) für alle n=-1 die Bedeutung eine Potenz von f(x9 hat, nur für n=-1 ist die Bedeutung plötzlich eine ganz andere.
Es macht sich ja leider auch schon die Schreibweise sin-1(x) anstelle von von arcsin(x) in manchen Publikationen breit, manchmal sogar in durchaus seriösen.
Frage beantwortet
montarenbici

montarenbici aktiv_icon

21:47 Uhr, 11.06.2019

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Hallo Roman, danke für deine Erklärung, du hast mir viel weitergeholfen :-)
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michaL

michaL aktiv_icon

22:21 Uhr, 11.06.2019

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Hallo,

ich befürchte, so einfach ist es nicht.

Klar, das Quadrat steht abkürzend für eine "Multiplikation" mit sich selbst.
Die Frage ist hier bloß, welche Verknüpfung (um das Wort Multiplikation zu vermeiden) gemeint ist.
Geht es um die Multiplikation reeller Zahlen, so versteht man unter f2 eben das Quadrat von Funktionswerten: f2(x)=(f(x))2
Geht es aber um die Hintereinanderausführung (Verkettung) von Funktionen, so bedeutet f2(x) eben (ff)(x)=f(f(x)).

In dem Falle bedeutet auch f-1 die Umkehrfunktion von f (sofern existent).
Im Falle der reellen Multiplikation gilt f-1(x)=(f(x))-1=1f(x), wobei ich zugeben muss, so etwas nicht häufig gesehen zu haben.

Bleibt meine Meinung dazu: Potenzen beziehen sich auf die zugrunde liegende Verknüpfung.

Ich stimme aber zu, dass sin-1 auf Taschenrechnern Humbug ist. Ich bevorzuge auch arcsin.

Mfg Michael
Frage beantwortet
montarenbici

montarenbici aktiv_icon

10:42 Uhr, 13.06.2019

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Danke :-)
Antwort
Roman-22

Roman-22

10:52 Uhr, 13.06.2019

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> Bleibt meine Meinung dazu: Potenzen beziehen sich auf die zugrunde liegende Verknüpfung.
Die in der Schreibweise an aber nicht klar ersichtlich. Für a gibts eine Definition und generell würde ich in der Schreibweise (f(x))2 die Multiplikation zugrunde legen (weswegen an auch witzlos ist, wenn a ein Vektor ist).

f2(x) müsste also erstmal definiert werden, bevor man darüber reden kann. Gerne auch als (ff)(x)=f(f(x))
montarenbici

montarenbici aktiv_icon

10:56 Uhr, 13.06.2019

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Aber ich verstehe euch schon richtig, dass das Quadrat einer Funktion nicht definiert ist, es also so etwas nicht gibt. Also f2(x) schlichtweg nicht definiert ist. Abgesehen von Sonderfällen, wie wenn f=sin ist?
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

11:34 Uhr, 13.06.2019

Antworten
Gerade was Sinus/Kosinus betrifft, ist man in der Symbolik sehr inkonsequent:

Es besteht die Übereinkunft sinn(x):=(sin(x))n für n=2,3,4,.

Seltsamerweise kommt kaum einer auf die Idee, das auch bei n=-1 konsequent so zu handhaben, d.h., sin-1(x)=(sin(x))-1=1sin(x). Stattdessen meinen die meisten damit die Umkehrfunktion, d.h. sin-1(x):=arcsin(x). Das ist auch der Grund dafür, warum ich sin-1 nie für diese Umkehrfunktion verwende. Leider sehen das z.B. nahezu alle Taschenrechner-Hersteller anders.