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Quadrat in Ebene wird um 30° gedreht

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Abbildung, angewandte lineare Algebra. ebene, Drehung, Quadrat

Sandro2301

14:29 Uhr, 15.01.2016

Ein Quadrat in der Ebene besitzt die Eckpunktkoordinaten

(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)

. Das
Quadrat soll nun um 30◦gegen den Uhrzeigersinn um seinen Schwerpunkt (den Schnitt-
punkt der beiden Diagonalen) gedreht werden. Wie lauten die Eckpunktkoordinaten nach
der Drehung? Stellen Sie die Drehung als Abbildung der Form

x

7→ Ax

+ b

dar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Wurzelgesetze

Werner-Salomon aktiv_icon

20:16 Uhr, 15.01.2016

Hallo Sandro,

das ist relativ einfach zu machen. Zunächst liegt weder eine Scherung noch eine Skalierung, sondern nur eine Rotation vor.
Demnach muss die Matrix

A

die Rotationsmatrix um 30Grad sein.

A = (\begin{array}{rcl} \cos (30) & - \sin (30) \\ \sin (30) & \cos (30) \end{array}) = (\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{array})

Da die Drehung um den Mittelpunkt des Quadrats geschehen soll, ist dieser invariant bezogen auf die gesuchte Transformation

x ʹ = A \cdot x + b

. Sei

m

der Mittelpunkt des Quadrats, so muss daher gelten:

m = A \cdot m + b

daraus folgt ...

den Rest schaffst Du selber.
Gruß
Werner

Sandro2301

12:12 Uhr, 17.01.2016

Alles klar, dann ist

A = ((cos (30) - sin (30)), (sin (30) cos (30))

die Standardmatrix um einen Punkt zu drehen oder?
Also wenn ich statt die

30

ein

α

reinschreibe, kann ich jeden Wert für

α

um diesen Wert drehen? Sorry wir machen in den Vorlesungen eigentlich nur lineare Algebra ohne Geometrie!
Vielen Dank! :-)

Edit: Sorry irgendwie klappts mit der Matrixschreibweise nicht ganz so gut.

Atlantik aktiv_icon

13:10 Uhr, 17.01.2016

Alternative:

Steigung einer um 30° gedrehten Geraden hat die Steigung

m_{2}

Ursprungsdiagonale hat einen Winkel von 45° gegenüber der x-Achse

\to m_{1} = 1

Drehdiagonale ( durch Schwerpunkt

S)

hat einen Winkel von 75° gegenüber der x-Achse

\to

m_{2} = t a n (75

) = 2 + \sqrt{3}

Diese Drehdiagonale schneidet den Kreis um den Schwerpunkt in A ´ und

C

´

Eine Gerade mit

m = - \frac{1}{2 + \sqrt{3}}

schneidet den Kreis in

B

´ und

D

´.

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

Werner-Salomon aktiv_icon

19:11 Uhr, 17.01.2016

A = (\begin{array}{rcl} \cos (α) & - \sin (α) \\ \sin (α) & \cos (α) \end{array})

ist die Rotationsmatrix und ein System um

α

zu drehen.
Beachte bitte, dass in deinem Fall auch

b

von

A

und damit von

α

abhängt.

Du schreibst: "irgendwie klappts mit der Matrixschreibweise nicht ganz so gut"
Versuche es im 'Experten-Modus(LaTeX)' .. LaTeX brauchst Du sowieso irgendwann.

Gruß
Werner

Sandro2301

19:17 Uhr, 17.01.2016

Alles klar, vielen Dank für die ausführlichen Antworten.
An LatTeX muss ich sowieso mal dran, nur hoffentlich noch nicht im ersten Semester. Kommt aber noch :-)

Gruß
Sandro

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