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Quadrat in Quadrat einschreiben

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: divergenz, Folge, Folgen und Reihen

Reinii aktiv_icon

16:54 Uhr, 04.07.2017

Hallo,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Einem Quadrat mit der Seitenlänge

a =

10cm wird ein Quadrat so eingeschrieben, dass die Eckpunkte in den Mittelpunkten der Seiten des äußeren Quadrates liegen. Dieser Vorgang wird unendlich oft wiederholt.

a)

Formel für die Seitenlänge des n-ten Quadrats

b)

Summe der Umfänge der ersten zehn Quadrate

c)

Berechne die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate

Komme bereits bei Punkt

a)

nicht mehr weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:59 Uhr, 04.07.2017

Hast Du Satz von Pythagoras vergessen?
Die Seite des neuen Quadrats ist

10 / \sqrt{2}

.
Und dann jedes mal wird durch

\sqrt{2}

geteilt.

Reinii aktiv_icon

17:42 Uhr, 04.07.2017

Nein habe ich nicht.

Die zweite Seite ist mir noch klar.

a 2 = \sqrt{{(\frac{a 1}{2})}^{2} + {(\frac{a 1}{2})}^{2}}

Was vereinfacht folgenden Ausdruck bedeutet:

\sqrt{2} \cdot {(\frac{a 1}{2})}^{2}

Wenn ich mit

a 2

wieder das selbe mache bekomme ich

a 3

usw.

a 3 = \sqrt{2} \cdot {(\frac{a 2}{2})}^{2}

Wenn ich dies jedoch unendlich lange mache sitze ich auch unendlich lange dabei.

Hat jemand eine Idee wie ich daraus jetzt die Formel für "a_n" aufstelle?

LG

DrBoogie aktiv_icon

17:47 Uhr, 04.07.2017

"Wenn ich dies jedoch unendlich lange mache sitze ich auch unendlich lange dabei."

Sehr witzig.

"Was vereinfacht folgenden Ausdruck bedeutet"

Nein. Vereinfacht bedeutet das

a_{2} = \sqrt{2} \frac{a_{1}}{2} = \frac{a_{1}}{\sqrt{2}}

.

Genauso

a_{3} = \frac{a_{2}}{\sqrt{2}} = \frac{a_{1}}{(\sqrt{2})^{2}}

.

Dann

a_{4} = \frac{a_{1}}{(\sqrt{2})^{3}}

und allgemein

a_{n} = \frac{a_{1}}{(\sqrt{2})^{n - 1}}

ledum aktiv_icon

17:49 Uhr, 04.07.2017

Hallo
1. da ist noch ein Fehler"

a_{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{a_{1}}{2}

setze dieses

a_{2}

wieder in

a_{3}

ein, dann

a_{4}

so dass

a_{4}

nur von

a_{1}

abhängt, dann siehst du auch wie

a_{n}

abhängig von

a_{1}

aussieht und

a_{1} = 10

kennst du ja.
Gruß ledum

Reinii aktiv_icon

18:31 Uhr, 04.07.2017

Vielen Dank.

Entgültige Formel lautet:

an

= a 1 \cdot {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{n - 1}

Reinii aktiv_icon

18:33 Uhr, 04.07.2017

Vielen Dank.

Die endgültige Formel lautet:

an

= a 1 \cdot {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{n - 1}

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