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Quadrat/Pyramide Vektoren

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Pyramide, Quadrat, Vektorrechnung

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21:41 Uhr, 04.12.2011

MIR IST SCHON GEHOLFEN WENN DU MIR BEI DER LÖSUNG EINES KLEINEN AUFGABENTEILS HILFST!

Gegeben sind die Punkte

A (5, 1,0); B (1, 5,2); C (- 1, 1,6)

und

S (6, 3, 7)

sowie die Gerade

g 1 : x = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ - 3 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})

Die Ebene

E

enthält die Punkte

A, B

und

C

a)

Der Punkt

D

bildet zusammen mit

A, B

und

C

ein Quadrat mit dem Mittelpunkt

M

.
Bestimme die Koordinaten von

D

und

M

D

habe ich bereits berechnet:

D (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{matrix})

b)Zeige, dass

S

die Spitze einer senkrechten Pyramide

P

mit Quadrat ABCD als Grundfläche ist.

c)Berechne die Länge der Höhe der Pyramide

P

und das Volumen der Pyramide

P

d)

Stelle die Gleichung der Ebene

E (B C S)

auf und weise nach dass die Gerade

g 1

nicht parallel zur Ebene

(B C S)

verläuft.

ICH HABE MIR BISHER ALS ANSATZ GEDACHT: zu

b)

die beträge (also seitenlängen) von as, bs ,cs ,ds zu vergleichen.wenn diese gleich sind muss

S

senkrecht auf der grundfläche stehen.oder das kreuzprodukt aus

S

und

M

muss 0 ergeben. allerdings weiß ich nicht wie man

M

berechnet!?!?!?
zu

c)

Länge der Höhe = Betrag von MS

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Wurzelgesetze

Nick76 aktiv_icon

22:40 Uhr, 04.12.2011

Der Mittelpunkt

M

des Quadrates ist der Mittelpunkt auf einer der Diagonalen des Quadrates:

M = \frac{1}{2} \cdot (A + C) = \frac{1}{2} \cdot (B + D)

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22:43 Uhr, 04.12.2011

aber da kommt was unterschiedliches raus!?
oder ich habe

D

falsch berechnet

Nick76 aktiv_icon

22:51 Uhr, 04.12.2011

Also bei mir ist

D = C - (B - A) = C + A - B = (5, - 3, - 2)

Rechne am besten

D

noch einmal nach.

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22:59 Uhr, 04.12.2011

Nach der Formel hab ich

D (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix})

raus

C + A - B

Nick76 aktiv_icon

23:00 Uhr, 04.12.2011

Sorry, hab mich grade auch verrechnet;-)

D = (3, - 3, 4)

dann gilt auch

\frac{1}{2} \cdot (A + C) = \frac{1}{2} \cdot (B + D) = M

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23:04 Uhr, 04.12.2011

super es stimmt!!! danke:-) du kannst mir nicht zufällig noch beim rest helfen ??

Nick76 aktiv_icon

23:14 Uhr, 04.12.2011

b)

Um zu zeigen, dass

S

die Spitze der Pyramide ist, konstruierst Du
eine Gerade senkrecht zur Grundfläche durch M. Diese Gerade muss durch

S

gehen.
Den Richtungsvektor der Geraden kannst Du über das Vektorprodukt von 2 Seiten des
Quadrates berechnen.

Ist

g = M + λ \cdot v,

dann muss es ein

λ

geben, so dass gilt

M + λ \cdot v = S

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23:16 Uhr, 04.12.2011

ich versteh nur bahnhof sorry... also was muss ich als erstes tun?

Nick76 aktiv_icon

23:20 Uhr, 04.12.2011

Du musst als erstes einen Vektor senkrecht zur Grundfläche des Quadrates berechnen

Also

z . B

v = (B - A) x (D - A),

das ist dann der Richtungsvektor der Geraden

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23:26 Uhr, 04.12.2011

also ich habe das kreuzprodukt berechnet und

(\begin{matrix} 24 \\ 12 \\ 24 \end{matrix})

rausbekommen und das ganze zu

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

gekürzt.
das ist jetzt also der richtungsvektor der geraden ,die durch

M

und

S

geht ?

also muss ich jetzt eine geradengleichung aufstellen:

g : x = M + λ (S - M) + μ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

also

g : x = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

aber wie gehts weiter?

Aurel

23:54 Uhr, 04.12.2011

"das ist jetzt also der richtungsvektor der geraden ,die durch

M

und

S

geht ?"

wenn das der Richtungsvektor der Gerade ,die durch

M

und

S

geht, ist, dann ist die Pyramide gerade - du musst also zeigen, dass das der Richtungsvektor der Gerade ,die durch

M

und

S

geht, ist.

Wie zeigt man das:
man zeigt, dass es ein

λ

gibt, sodass M+λ⋅v=S

Aurel

23:57 Uhr, 04.12.2011

wobei

\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

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23:59 Uhr, 04.12.2011

hab mich vertan:-)

also:

g : x = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = S (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 7 \end{matrix})

demnach ist

λ = 2

und das ist jetzt der beweis dass

S

ein element aus der gerade ist, oder!???!?

also ist

S

senkrecht auf der quadratischen Grundfläche und folglich die spitze einer senkrechten pyramide?! ich glaub ich hab zum ersten mal mathe verstanden :-) wenn das richtig ist was ich geschrieben hab

Aurel

00:05 Uhr, 05.12.2011

genau so ist es, sehr gut :-)

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00:09 Uhr, 05.12.2011

coole sache:-)))))))))))))
so jetzt nur noch der rest.
also die höhe möchte ich mit dem betrag aus

s

und

m

berechnen.
habe jetzt dafür raus

: h = 6

LE(längeneinheiten)

so das volumen ist

\frac{1}{3} G h

aber wie komme ich an G????
aaah moment: die seiten sind alle gleich lang und der betrag der seiten ist gleichzusetzen mit der länge der seiten. dafür habe ich auch 6LE raus

d . h

6 \cdot 6 = 36

ist

G

\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = 72

ist das richtig?

Aurel

00:15 Uhr, 05.12.2011

G = | (\begin{matrix} 24 \\ 12 \\ 24 \end{matrix}) |

weißt du warum?

bzw.

G = a^{2}

mit

a =

Seitenlänge des Quadrats

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00:18 Uhr, 05.12.2011

hmmm das mit der

(\begin{matrix} 24 \\ 12 \\ 24 \end{matrix})

versteh ich nicht?!

Aurel

00:21 Uhr, 05.12.2011

Super, die Höhe stimmt und

G

stimmt auch, denn

G = | (\begin{matrix} 24 \\ 12 \\ 24 \end{matrix}) | = 36

| \vec{m} \times \vec{n} | =

Fläche des von

\vec{m}

und

\vec{n}

aufgespannten Parallelogramms

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00:24 Uhr, 05.12.2011

was es jetzt mit dem parallelogramm auf sich hat versteh ich nicht:-)wie kann ich denn die letzte teilaufgabe lösen??

Aurel

00:25 Uhr, 05.12.2011

in unserem Fall ist das Parallelogramm das Quadrat

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00:26 Uhr, 05.12.2011

ups ja stimmt... bin ich doof:-)

also ich versuch gerade die letzte aufgabe:

E (B C S) : x = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 5 \\ - 2 \\ 5 \end{matrix})

aber wie weise ich nach dass

g 1

nicht parallel zu dieser ebene ist??

Aurel

00:36 Uhr, 05.12.2011

d)

Stelle E(BCS) auf und schneide sie mit

g

. Wenn es einen (einzigen) Schnittpunkt gibt ist

g

nicht parallel zu

E

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00:38 Uhr, 05.12.2011

wie genau schneide ich denn eine gerade mit einer ebene? kann ich die ebene in dieser form stehen lassen oder sollte ich sie besser in koordinatenform umwandeln und dann die gerade dort einsetzen?

Aurel

00:46 Uhr, 05.12.2011

du kannst dafür alles in der Parameterform belassen

Eine Gerade schneidet man mit einer Ebene indem man die beiden gleichsetzt und die 3 Parameter berechnet

aber da wir ja den schnittpunkt gar nicht berechnen sollen genügt es auch zu zeigen dass sich der Richtungsvektor

\vec{a}

von

g

nicht als Linearkombination der Richtungsvektoren

\vec{b}, \vec{c}

von

E

ausdrücken lässt, also:

es gibt kein

λ, μ

sodass

\vec{a} = λ \cdot \vec{b} + μ \cdot \vec{c}

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00:49 Uhr, 05.12.2011

habe die ebene in koordinatenform umgewandelt:

E : - 6 x + 15 y + 8 z = 85

habe dann die gerade eingesetzt für

x, y

und

z

und

\frac{49}{22}

für das

λ

der gerade erhalten, also einen schnittpunkt, dh die gerade kann nicht parallel zur ebene liegen

ist das so richtig oder gibt es einen einfacheren weg??

Aurel

00:52 Uhr, 05.12.2011

einfacherer Weg - siehe meine letze Mitteilung

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00:54 Uhr, 05.12.2011

habs gerade gemerkt^^ vielen lieben dank ich habs jetzt nach langer zeit endlich mal verstanden!

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00:56 Uhr, 05.12.2011

aurel hat mir am allerbesten geholfen! daumen hoch vielen dank

Aurel

00:57 Uhr, 05.12.2011

Bitte gerne :-)

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