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Quadratisch summierbare Folgen

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Funktionenraum, Hilbertraum, Maßtheorie, Raum der quadratisch summierbaren Folgen

Nelio aktiv_icon

14:15 Uhr, 28.06.2017

Guten Tag. Ich kenne mich hierbei leider kaum aus. Im Skriptum wird es schlecht bis gar nicht erklärt es geht um den Zusammenhang zwischen Hilbertraum und Raum der quadratisch summierbaren Folgen.
Die Frage eines alten Tests lautet:

0)

wie genau funktioniert der Zusammenhang zwischen

l^{2}

und

L^{2}

1)

Es existiert eine bijektive Abbildung zwischen dem Funktionenraum

L^{2} (- π, π)

und dem Raum

l^{2}

der quadratisch summierbaren Folgen. Erläutern sie möglichst genau, was sie darüber wissen und was genau dahintersteckt.

2)

Argumentieren Sie: Die Abbildung

F : L^{2} (- π, π) \to l^{2},

definiert durch

{(F (u))}_{k} := \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} u (x) e^{- i k x} d x, k \in ℤ,

ist normerhaltend,

d . h

. es gilt

{| | F (u) | |}_{l^{2}} = {| | u | |}_{L^{2}}

DrBoogie aktiv_icon

14:21 Uhr, 28.06.2017

2) gibt Dir die in 1) gesuchte bijektive Abbildung und 1) erklärt 0)

Nelio aktiv_icon

14:41 Uhr, 28.06.2017

Und was genau steckt dahinter? Mit Worten, wenn möglich philosophisch erklärt.
Und wie kann man

2)

argumentieren

DrBoogie aktiv_icon

14:48 Uhr, 28.06.2017

Mit Worten ist es keine Mathematik. :-P)

Das Grundgerüst in jedem Hilbertraum ist eine Orthornomalbasis. Alle Hilberträume mit einer unendlich großen, aber abzählbaren Orthornomalbasis sind gewissermaßen "gleich". Zumindest "im philosophischen Sinne". Denn es gibt immer eine biejktive Abbildung zwischen zwei von diesen Räumen, welche aus einer Orthornomalbasis in einem eine Orthornomalbasis im anderen macht und dazu noch das Skalarprodukt "erhält". Also,

φ : V_{1} \to V_{2}

mit

< φ (v), φ (u) >_{V_{2}} = < v, u >_{V_{2}}

.

Insbesondere sind

l^{2}

und

L^{2} (- π, π)

"gleich" (mathematisch - isomorph). Eine mögliche Basis in

l^{2}

ist

(1, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, 0, . . .), . . . .

und eine mögliche Basis in

L^{2} (- π, π)

ist

{e^{i k x}}

Nelio aktiv_icon

15:00 Uhr, 28.06.2017

Danke. Das hilft mir sehr weiter!
Nun ja. Mathe ist zwar etwas tolles, doch Worte sind uns erziehungstechnisch besser im Blut auch wenn sie ungenauer sind.

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